【数据结构和算法】红黑树
参考资料：https://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3245399.html
https://www.cnblogs.com/wll-cs/p/5640266.html
https://www.cnblogs.com/yinbiao/p/10732600.html
一、红黑树的特性
性质五：从任一节点到其没个叶节点的所有路径都包含相同数目的黑色节点；
二、红黑树的旋转操作
红黑树的基本操作是添加和删除，在对红黑树进行添加和删除之后，都会用到旋转方法，为什么呢？道理很简单，因为添加或者删除红黑树中的结点之后，红黑树就发生了变化，可能不满足上面的5条性质了，这个时候就需要通过旋转操作来保证它依旧是一棵红黑树，旋转分为左旋和右旋
（旋转操作仅仅只是用来调节结点的位置的，就是为了满足红黑树的性质5）
1.左旋
2.右旋
三、红黑树的节点插入
添加操作宏观过程：首先将红黑树当作一颗查找树一样将结点插入，然后将结点着为红色，最后通过旋转和重新着色的方法使之重新成为红黑树
将新加入的结点涂成红色的原因：
1）不违背红黑树的性质5：从任意一个结点出发到空叶子结点，经过的黑色结点个数相同
2）按照红黑树的性质4我们知道红黑树中黑结点的个数至少是红结点个数的两倍，所以新增结点的父亲结点是黑结点的概率比较大，如果新增结点的父节点为黑色，那么此时不需要再去进行任何调整操作，因此效率很高，所以新结点应该涂成红色
少违背一条性质，意味着我们后续的旋转和重新着色操作会简单很多
现在我们来看看新增一个红色的结点会违背红黑树的5条性质中的哪些？
1）每个结点或红或黑 2）根结点是黑色 3）空叶子结点是黑色 4）如果一个结点是红色，那么它的子节点是黑色 5）从任意一个结点出发到空的叶子结点经过的黑结点个数相同
1.显然没有违背
2.根据查找树的特定，插入操作不好改变根结点，所以也没有违背
3.插入的肯定不是空叶子结点，所以也没有违背
4.有可能违背！！！
5.插入结点涂成红色就是为了不违背第5条性质
现在我们来分析一下新增的结点（红色）插入之后可能面临的几种情况，以及他们的处理措施
1.插入的结点为根结点
将新插入的红色结点变成黑色结点，满足根结点为黑色结点的要求！
2.父亲结点为黑色结点
这个时候不需要进行任何调整操作，此时的树仍然是一颗标准的红黑树
3.父亲结点为红色结点的情况下，叔叔结点为红色结点（不用考虑左右）
解决方案：将叔叔和父亲结点改为黑色，爷爷结点改为红色，未完
然后又将爷爷结点当作插入结点看待，一直重复从1开始节点属性和颜色的检查，并进行相应的操作(有可能是需要继续进行3的操作，也有可能直接退出，也有可能需要旋转进行节点调整)，直到当前结点为根结点，然后将根结点变成黑色。
示例：
插入一个125的结点：
现在125结点和130结点都是红色的，显然违背了规则4，所以将新插入结点的父亲130结点和插入结点的叔叔结点150变成黑色，并将新插入结点的爷爷结点140变成红色，图如下：
然后又将140结点当作新插入结点处理（因为140结点和新插入结点面临的情况都是一样的：和父亲结点都是红色），也就是做如下处理：将140结点的父亲结点120和140的叔叔结点60变成黑色结点，将140结点的爷爷结点变成红色，因为遍历到了根结点，要满足根结点是黑色的性质要求，所以又将140的爷爷结点也就是根结点变成黑色，图如下：
到这里，为新插入结点125所做的某些结点重新着色的操作就完成了，现在该树是标准的红黑树了！
4.新插入的结点的父亲结点为红色，其叔叔结点为黑色
1）父亲结点为爷爷结点的左孩子，新插入结点为父节点的左孩子（左左情况）
2）父亲结点为爷爷结点的右孩子，新插入结点为父亲结点的右孩子（右右情况）
上述两种情况都是同一个处理办法
比如下图，新插入结点为25，其父亲结点30为红色，其叔叔结点为空黑色叶子结点，且新插入结点和其父节点都是左孩子：
我们将其父亲结点和爷爷结点颜色互换，然后针对爷爷结点进行一次右旋（子和父的关系为：左左=>右旋，右右=>左旋），图如下：
现在这颗树完全满足红黑树的5个性质了（最好自己对照5个性质看一下）
现在又一个问题，我们为什么要进行旋转？
假设我们只将新增结点的父亲结点和其爷爷结点的颜色互换了，图如下：
我们发现上述两条到叶子结点的路径经过的黑色结点数量不一样！！！，所以它不满足红黑树的第5条性质，所以这就是我们旋转的意义所在！！！（因为无论你这么旋转都没有改变结点颜色，改变的是结点的位置，而这位置改变刚好能使得树满足红黑树的第5条性质！）
5.新插入的结点的父亲结点是红色，其叔叔结点是黑色
1）插入结点是右结点，父节点是左结点
2）插入结点是左结点，父亲结点是右结点
上述两种情况都是同一个处理办法
比如下图，新插入结点是126，其父结点125为红色，其叔叔结点为空的黑色结点，而且插入结点是右结点，父结点是左结点
我们将父亲结点125看作当前结点进行左旋，旋转结果如下：
现在我们的当前结点是125，现在125的处境和上面的情况4是一样的（父节点为红，叔叔结点为黑，插入结点为左结点，父亲结点也为左孩子）现在我们继续按照情况4的处理办法处理上述情况（措施和情况4一样，父亲结点和爷爷结点互换颜色，然后针对爷爷结点进行右旋（左左=>右旋 右右=>左旋）），处理后情况如下：
现在树就是一颗标准的红黑树了！
我们现在总结一下插入结点面临的几种情况以及采取的措施：
1.树为空，插入的结点为根结点 直接将插入的结点变成黑色 2.父亲结点为黑色结点 不需要任何操作 3.父亲结点为红色结点的情况下： 3.1 叔叔结点也为红色结点 将叔叔和父亲结点改为黑色，爷爷结点改为红色，未完，然后又将爷爷结点当作插入结点看待，一直进行上 面的操作，直到当前结点为根结点，然后将根结点变成黑色 3.2 叔叔结点为黑色结点的情况下： 3.2.1 （父亲结点为左孩子，插入结点也为左孩子）||（父亲结点为右孩子，插入结点也为右孩子） 将父亲结点和爷爷结点的颜色互换，然后针对爷爷结点进行一次旋转 3.2.2 （父亲结点为左孩子，插入结点为右孩子）||（父亲结点为右孩子，插入结点为左孩子） 针对父结点进行旋转，此时旋转后的情况必定是3.2.1的情况，然后按照3.2.1的情况处理
====================TreeMap中对于节点变色和旋转的代码如下===================================
代码的调整逻辑完全符合上述分析的逻辑
/** From CLR *X为当前红黑树最新插入的节点 */ private void fixAfterInsertion(Entry<K,V> x) { x.color = RED; //当前节点x不是空，也不是根节点,且x的父亲节点颜色为红色，才需要进行调整（若x为根节点或x节点的父亲节点颜色为黑色，则说明调整完成） while (x != null && x != root && x.parent.color == RED) { //x的父亲节点自身为左节点的情况 if (parentOf(x) == leftOf(parentOf(parentOf(x)))) { //找到x节点的叔叔节点y Entry<K,V> y = rightOf(parentOf(parentOf(x))); //如果叔叔节点和父亲节点为红色,则将叔叔和父亲变为黑色，爷爷变为红色，将爷爷节点当做新插入节点，继续下一轮调整 if (colorOf(y) == RED) { setColor(parentOf(x), BLACK); setColor(y, BLACK); setColor(parentOf(parentOf(x)), RED); x = parentOf(parentOf(x)); } else { //父亲节点为红色，叔叔节点为黑色的情况 if (x == rightOf(parentOf(x))) { //父亲节点为左节点，当前节点为右节点，对将父亲节点作为当前节点，然后进行一次左旋。让其成为左左的情况， x = parentOf(x); rotateLeft(x); } //当前节点为左节点，父亲节点为左节点，父亲节点为红色，叔叔节点为黑色。则将父亲节点变黑，爷爷节点变红，对爷爷节点进行一次右旋 setColor(parentOf(x), BLACK); setColor(parentOf(parentOf(x)), RED); rotateRight(parentOf(parentOf(x))); } } else { //x的父亲节点自身为右节点的情况 //x的叔叔节点，其叔叔节点为左节点 Entry<K,V> y = leftOf(parentOf(parentOf(x))); if (colorOf(y) == RED) { //x的父亲节点和叔叔节点都为红色，则将父亲节点和叔叔节点颜色变成黑色，爷爷节点变成红色，将爷爷节点作为当前节点，继续调整 setColor(parentOf(x), BLACK); setColor(y, BLACK); setColor(parentOf(parentOf(x)), RED); x = parentOf(parentOf(x)); } else { //x的父亲节点为红色，叔叔节点为黑色的情况 if (x == leftOf(parentOf(x))) { //x自己为左节点，x的父亲为右节点，将父亲节点做未当前节点，进行一次右旋操作,让其成为右右的情况 x = parentOf(x); rotateRight(x); } // 当前节点为右节点，父亲节点为右节点，父亲节点为红色，叔叔节点为黑色。将爷爷节点变为红色，父亲节点为黑色，对爷爷节点进行一次左旋。 setColor(parentOf(x), BLACK); setColor(parentOf(parentOf(x)), RED); rotateLeft(parentOf(parentOf(x))); } } } //因为节点在调整的过程中，退出时，再次将根节点的颜色设置为黑色 root.color = BLACK; }
四、红黑树的节点删除
先说一个删除结点的过程原理：首先将红黑树当作一个二叉查找树，将该结点从二叉查找树种删除，然后通过一些列重新着色操作等一系列措施来修正该树，使之重新成为一颗红黑树
删除结点其实很容易，难的是如何使得删除结点后的树重新成为一个红黑树
我们可以根据删除结点N的儿子个数分为三种情况：
1.删除结点没有儿子
2.删除结点有1个儿子
3.删除结点有2个儿子
接下来我们又可以对以上三种情况继续进行细分
一.删除结点没有儿子的情况： 1）删除结点为红色 2）删除结点为黑色，其兄弟结点没有儿子 3）删除结点为黑色，其兄弟结点有一个孩子不空，并且该孩子为右孩子 4）删除结点为黑色，其兄弟结点有一个孩子不空，并且该孩子为左孩子 5）删除结点为黑色，其兄弟结点有两个孩子，而且兄弟结点为红色 6）删除结点为黑色，其兄弟结点有两个孩子，而且兄弟结点为黑色 二.删除结点只有一个儿子的情况： 1）删除结点为黑色，其唯一的儿子结点为红色（必定是红色，要不然不符合红黑树的第5条性质） 2）删除结点为红色，其儿子结点只能为黑：红黑树中不存在这种情况，要不然无法满足红黑树第5条性质 三.删除结点有两个儿子的情况：
现在我们就具体分析一下面临不同的操作到达该这么操作：
一.删除结点没有儿子的情况：
1）删除结点为红色
直接删除，比如下图，想要删除130结点
直接删除130结点，结果图如下：
因为删除的是红色结点，不会影响红黑树第5条性质，所以可以直接删除
2）删除结点为黑色，其兄弟结点没有儿子
这种情况下其兄弟结点也肯定是黑色的（要满足红黑树第5条性质），假设现在要删除的是150这个结点，原图如下：
先删除结点150，然后将兄弟结点126变成红色，父亲结点140变成黑色，结果如下：
这样做的目的是为了满足红黑树的第5条性质，要不然根到最右边的叶子结点经过的黑色结点只有3个，而其他路径有4个
3）删除结点为黑色，其兄弟结点有一个孩子不空，并且该孩子和兄弟结点在同一边（同为左子树或者同为右子树）
假设现在要删除的结点为110，其兄弟结点140只有一个孩子150，而且都是右子树，满足上述条件，原图如下：
先把需要删除的结点110删除，然后这个时候需要交换兄弟结点140和父亲结点120的颜色，并且把父亲结点120涂成黑色，把兄弟结点的子节点150涂成黑色
1.如果兄弟结点和兄弟结点的儿子都在右子树的话：对父亲结点进行左旋
2.如果兄弟结点和兄弟结点的儿子都在左子树的话：对父亲结点进行右旋
上图是第一种情况，所以对父结点120进行左旋，结果如下：
通过对某些结点重新着色和旋转，又将该树变成了一个标准的红黑树了
4）删除结点为黑色，其兄弟结点有一个孩子不空，并且该孩子和兄弟结点不在同一边（右左或者左右的情况）
（这种情况下，兄弟结点的儿子50结点只能为红色，要不然满足不了红黑树的第5条性质）
假设我们现在要删除的结点是80结点，其兄弟结点只有一个儿子，而且兄弟结点和兄弟结点的儿子是左右的情况（兄弟结点为左结点，兄弟结点的儿子为右结点），符合上述要求，原图如下：
现在我们先将需要删除的80结点删除，然后将兄弟结点和兄弟结点的儿子结点颜色互换
如果兄弟结点是左子树，兄弟结点的儿子结点是右子树：对兄弟结点进行左旋
如果兄弟结点是右子树，兄弟结点的儿子结点是左子树：对兄弟结点进行右旋
上图的情况是进行左旋，也就是对兄弟结点30进行左旋，结果如下图：
注意！！，现在还没有结束变换，我们发现变换之后的红黑树情况和情况3中的情况很相似，兄弟结点50和兄弟结点的子节点30处在同一边，我们可以按照情况3的处理办法进行处理：
交换兄弟结点50和父亲结点60的颜色，把父亲结点60和兄弟结点的子节点30涂成黑色
1.如果兄弟结点和兄弟结点的儿子都在右子树的话：对父亲结点进行左旋
2.如果兄弟结点和兄弟结点的儿子都在左子树的话，对父亲结点进行右旋
上图的情况是第2中，所以对父亲结点60进行右旋，结果如下：
5)删除结点为黑色，其兄弟结点有两个孩子，兄弟结点为黑色而且两个孩子结点也为黑色
现在我们假设要删除的结点是130结点，其兄弟结点有两个孩子（可以把空的叶子结点看成黑色的儿子结点），而且兄弟结点和兄弟结点的儿子结点都是黑色，符合上述情况，原图如下：
先直接删除需要删除的结点130，然后将父亲结点140和兄弟结点150颜色互换即可，结果如下：
6)删除结点为黑色，其兄弟结点有两个孩子，而且兄弟结点为红色
假设我们要删除的结点是110，其兄弟结点140为红色而且有两个孩子，原图如下：
我们先交换兄弟结点140和父亲结点120的颜色
1.被删除的元素为左子树：对父亲结点左旋
2.被删除的元素为右子树：对父亲结点右旋
上图的情况是第一种情况，所以我们对父亲结点140进行左旋，按照上面操作之后（未完），结果如下：
旋转完之后，我们发钱要删除的110节点，此时变成了：110的兄弟节点，没有孩子节点的情形。此时只需要将110节点删除，将120和130节点颜色进行互换即可。结果如下图：
我们现在对删除结点没有儿子结点的6种删除情况进行一下总结：
删除结点没有儿子结点：
1）删除结点为红色： 直接删除 2）删除结点为黑色，其兄弟结点没有儿子： 兄弟结点变红，父亲结点变黑 3）删除结点为黑色，其兄弟结点有一个孩子不空，并且该孩子和兄弟结点在同一边（同为左子树或者同为右子树）： 1.不管是括号中那种情况，先交换兄弟结点和父亲结点的颜色，并且把父亲结点和兄弟结点的子结点涂成黑色 2.1如果兄弟结点和兄弟结点的儿子都在右子树的话：对父亲结点进行左旋 2.2如果兄弟结点和兄弟结点的儿子都在左子树的话：对父亲结点进行右旋 4）删除结点为黑色，其兄弟结点有一个孩子不空，并且该孩子和兄弟结点不在同一边（右左或者左右的情况）： 1.先将兄弟结点和兄弟结点的儿子结点颜色互换 2.1如果兄弟结点是左子树，兄弟结点的儿子结点是右子树：对兄弟结点进行左旋 2.2如果兄弟结点是右子树，兄弟结点的儿子结点是左子树：对兄弟结点进行右旋 3.将后续变换按照第3条处理 5)删除结点为黑色，其兄弟结点有两个孩子，兄弟结点为黑色而且两个孩子结点也为黑色： 1.将父亲结点和兄弟结点颜色互换 6）删除结点为黑色，其兄弟结点有两个孩子，而且兄弟结点为红色： 1.将兄弟结点和父亲结点的颜色互换 2.1 被删除的元素为左子树：对父亲结点左旋 2.2 被删除的元素为右子树：对父亲结点右旋 3.将后续变换按照第5条进行处理
以上6种情况讨论的都是删除结点没有儿子的情况（空叶子结点不算儿子结点）
现在我们来看看删除结点仅有一个儿子结点的情况！
二.删除结点仅有一个儿子结点的情况
1）删除结点为黑色，儿子结点无论左右都可以
比如我们要删除的结点是120结点，删除结点为黑色，唯一的儿子结点130为红色（必须是红色，不然违背红黑树第5条性质）原图如下：
我们将需要删除的结点120删除，然后将子节点130涂黑放到被删除结点120的位置，结果如下：
2）删除结点为红色：其儿子结点只能为黑，红黑树中不存在这种情况，要不然无法满足红黑树第5条性质
总结一下删除结点只有一个儿子的情况：
1）删除结点为黑色，儿子结点无论左右都可以 将儿子结点涂成黑色放到被删除结点的位置
下面我们来看看删除结点有两个儿子结点的情况
三.删除结点有两个儿子结点
找到删除结点的右子树中最左的结点，两两值交换，然后删除结点的情况就变成了上面两种情况中的一种了
1.删除结点只有一个儿子的情况
2.删除结点没有儿子的情况
比如下图
假设要删除的结点是120，先找到结点120右子树中最左的结点125，交换两者的值，图如下：
现在120仍然是要删除的结点，我们发现删除结点120没有一个儿子，而且其兄弟结点也没有儿子，那么其对应的情况为：
2）删除结点为黑色，其兄弟结点没有儿子： 兄弟结点变红，父亲结点变黑
经过上面的变形，结果如下：
经过变换，该树变成了一颗标准的红黑树
所以当删除结点右两个儿子结点的时候，我们只需要按照搜索二叉树的删除方法替换删除值，这样就可以将情况变成删除结点没有儿子结点或者1个儿子结点的情况处理了
五、红黑树添加删除自平衡的执行逻辑
