西方有术傅里叶 (离散傅里叶变换的推导(1))
西方有术傅里叶
----离散傅里叶变换的推导(1)
首先让我们忘记严密的数学,忘记DFT,定性地思考一些东西。
DFT中涉及的一个就是相关,其实就是看两个信号的相似程度。越相似,相关系数就越大。 如果没有用过相关,那一定用过加权平均,我们的成绩有时是会被加权平均的,数学英语权值大,不重要的科目权值小,这样平均来显示自己的实力是有些不公平,因为里面体现着老师对科目的偏好和重视,如果你的科目成绩分布恰巧和老师这个偏好和重视一致(相似),你的分数就高,这和相关其实是一个概念,只不过加权平均是归一化的,而相关可以归一化也可以不归一化。
其实DFT就是一个相关的过程,就是拿你的信号和不同频率的正弦余弦信号相关的过程。想想我们刚才说的相关和加权平均的概念,就不难理解了,不同频率的正余弦信号,就是老师心里的砝码(哪个科目重要,哪个科目不重要),你的信号就是你的成绩,需要放到老师提供的尺度下去衡量,越一致越相似你的分数就越高,只不过DFT比较公平,他考虑所有不同老师的标准,而不是一个。每个老师都有一个频率(即老师的标准),你得按照每个老师的标准去计算一遍,才能知道你在该老师标准下的成绩(即相关系数)。把每个老师的标准当成横坐标,把该标准下的成绩当成纵坐标,组成的图就是你信号的频谱了。
具体点就是,如上图所示,因为你成绩单上的课程不仅多,排列还毫无规律,为了能将你快速并顺利划分到合适的专业,需要对你的专业能力进行评定,所以将你成绩丢进各个系老师的标准中进行评定,评定结果表示,你在CS专业上能力突出,在文学领域还有待加强,为此马上可以得出将你划分入CS系中的概率比较大了。
既然已经文字化描述了下傅里叶变换的过程了,往下开始数学化点了。
先对刚刚提到的相关这个概念重新理解一下,理解傅里叶变换文中已经对信号相关性进行了详细了描述,现将其引动到这来。
信号的相关性(correlation)可以从噪声背景中检测出已知的信号,我们也可以利用这个方法检测信号波中是否含有某个频率的信号波:把一个待检测信号波乘以另一个信号波,得到一个新的信号波,再把这个新的信号波所有的点进行相加,从相加的结果就可以判断出这两个信号的相似程度。如下图:
上面a和 b两个图是待检测信号波,图a很明显可以看出是个3个周期的正弦信号波,图b的信号波则看不出是否含有正弦或余弦信号,图c和d都是个3个周期的正弦信号波,图e和f分别是a、b两图跟c、d两图相乘后的结果,图e所有点的平均值是0.5,说明信号a含有振幅为1的正弦信号c,但图f所有点的平均值是0,则说明信号b不含有信号d。这个就是通过信号相关性来检测是否含有某个信号的方法。
先引用到这,到这边应该有个问题,为什么所有点的平均值是0.5时,便说明信号a含有振幅为1的正弦信号c ?
首先我们知道傅里叶级数的公式为:
这里面表示的就是形状曲线了,
跟
则是该曲线在每个频率上的振幅,
乘以
则是用来指定正余弦波的频率,这里
,表示的是基频,所以频率大小还是靠
决定的,
当然就是周期函数的周期了。
形象点说吧,就是你的成绩单,杂乱无章,于是将其分析整理,用
来表示整理之后的专业划分,比如是CS专业还是EE专业,
跟
则是你在这个专业上的能力大小。
那为什么会有跟
两个值呢,频谱图上不应是每个频率上对应一个振幅的?
因为这函数是表现在实值领域的,如果换到复数领域上,计算的就是复数幅值,也就是两数平方和再开根号。
形象理解了几个参数之后,应该还有一个,或者周期
怎么理解?
在封闭的形状曲线上,该曲线可看成是周期函数,也就是沿着边缘绕一圈就回到原点的函数,绕的时间为。又对于形状曲线,我们一般是得到它的采样点,如果有
个采样点,则可得采样周期
,也就是第一个采样点在时间
上,第
个采样点在时间
上,则
,所以上面的傅里叶公式在离散点集上可表示为:
显然,傅里叶变换的两个基本函数为正余弦函数,并且这两函数的频率由来决定。如为2,表示在0到
长度中存在两个完整正余弦周期,即频率为2,因为对原曲线来说,
个点代表原曲线的一个周期。
并且,对于个采样点的一条曲线,频率
的最大取值
(后续附上该讨论),所以定义这样一条曲线,我们最多只需考虑
个分量。故展开式可重新定义为:
等式(3)跟理解离散傅里叶变换文中的合成等式:
其实没多大差别,因为它将等于0和
的情况都特别处理,而等式(3)只是特别处理了
等于0的情况,所以增加了个
。
对于等式(3),基本知道的数据有,,采样所得,每个采样点有个值;
,采样点的总数。
故该计算跟
。
废话一堆,最重要的却还没推导,歇会,待续…
参考资料:
http://blog.csdn.net/dznlong/archive/2008/04/08/2261150.aspx
Feature Extraction and Image Processing. Mark S. Nixon, Alberto S. Aguado.