汉诺塔问题

移动步骤

三根柱子A，B，C。A杆上有N个N>1N>1穿孔圆盘，盘的尺寸由下到上依次变小。要求按下列规则将所有圆盘移至C杆：*

1. 每次只能移动一个圆盘；
2. 大盘不能叠在小盘上面。

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解法一：

使用递归

分析：

1. 当只有一个时，只需把第一个盘从a移到c
2. 两个时，先把第一个盘从a移到b，再把第二个盘从a移到c，最后把第一个盘从b移到c
3. 三个时，将1号盘移到c，2号盘移到b，1号盘移到b，（此时1,2号盘放在b），3号盘移到c，（将1,2号盘从b移到c）1号盘移到a，2号盘移到c，1号盘移到c
4. 四个时，1从a到b，2从a到c，1从b到c，3从a到b，1从c到a，2从c到b，1从a到b，（此时1,2,3号盘在b），4从a到c，（将1,2,3号盘从b移到c）1从b到c，2从b到a，1从c到a，3从b到c，1从a到b，2从a到c，1从b到c
5. ...可以看出从两个盘开始，都是将最后一个盘上面的盘移到b，在将最大盘移到目标柱后，再把在b的盘移动到c
6. n个盘时，将n-1个盘从a移动到b，直接移动不成立，所以借助c，形成a->c->b，随后将n移动到c后，将n-1盘从b移到c——也就是先将n-2个盘从b移到a，可以将a，b，c看做一个圆圈上的三个柱子，所以这时的移动方式是b->c->a，将n-1盘放到c。
7. 重复操作直到完成

思路：

1. 如果只有一个盘，直接从a到c
2. 按照分析，两个以上的盘的规律是：
   • 将n-1个盘放到b
   • 将n盘移动c
   • 将n-1盘移到c（过程和上两步相同，只是起始柱从a变成了b

代码：

//设置变量接收盘数和柱的名称
var hanoi = function(n,a,b,c){
    //一个盘是直接移动
    if(n == 1){
        console.log(`将${n}从${a}移到${c}`)
    }else{
        //使用递归，直到只有一个盘，然后回溯到n
        //先将n-1个盘放到b
        hanoi(n-1,a,c,b)
        //将n盘移到c
        console.log(`将${n}从${a}移到${c}`)
        //将n-1盘移到c
        hanoi(n-1,b,a,c)
    }
}
//时间复杂度O(2^n)，随着n的增加，消耗时间成指数增长
//简化
var hanoi = function(n,a,b,c){
    //一个盘是直接移动
    if(n > 0){
        //使用递归，直到只有一个盘，然后回溯到n
        //先将n-1个盘放到b
        hanoi(n-1,a,c,b)
        //将n盘移到c
        console.log(`将${n}从${a}移到${c}`)
        //将n-1盘移到c
        hanoi(n-1,b,a,c)
    }
}

解法二：崩了

分析：

从解法一的分析可以看出n为偶数的移动方式

盘号	移动方式
1	1.a->b 3.b->c 5.c->a 7.a->b 9.b->c 11.c->a 13.a->b 15.b->c
2	2.a->c 6.c->b 10.b->a 14.a->c
3	4.a->b 12.b->c
4	8.a->c

奇数号盘的移动规律是a->b->c->a循环

偶数号盘是a->c->b->a循环

而n为奇数时正好相反

盘的移动顺序为1,2,1,3,1,2,1,4,1,2,1,3,1,2,1

1盘在1,3,5,7，9,11,13,15时移动 转为二进制为1,11,101,111,1001,1011,1101,1111

2盘在2,6,10,14时移动 10,110,1010,1110

3盘在4,12时移动 100,1100

4盘在8时移动 1000

可以说奇数盘比偶数盘多移一个柱

奇数：a->b->c->a

偶数：a-b->c-a->b-c->a-b->c

循环遍历最后一个1后面0的个数

时间复杂度2^n*？

思路：

1. 判断盘数的奇偶，创建数组记录盘所在的柱
2. 循环2^n-1,将每一个数转换成二进制字符串，并循环遍历最后一个1后面的0的个数，根据0的个数判断移动哪个盘，并更新柱

代码：

JavaScript

python

def hanoi(n):
    cols = ["A","B","C"] if n % 2 == 0 else ["A","C","B"]
    pan = [0] * n #盘的id == 柱的id
    for step in range(1,2**n):
    	idx = len(bin(step & -step)) - 3 #lowbit 转二进制，开头是0b1
    	old_tower = cols[golds[idx]]
        golds[idx] = (golds[idx] + 1 + idx % 2) % 3  # 奇数比偶数多走一步
        print(f"step{step}: 将{idx + 1}号金片从{old_tower}移到{cols[golds[idx]]}")

hanoi(4)