关于三门问题的一些思考
三门问题(Monty Hall problem)亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论,大致出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔(Monty Hall)。参赛者会看见三扇关闭了的门,其中一扇的后面有一辆汽车,选中后面有车的那扇门可赢得该汽车,另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门,但未去开启它的时候,节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇,露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是:换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机率?
百度百科上也提供了不少解法,但是我觉得都不太好,思考问题应该能提升一个层次,这个反而更容易理解。比如说中学时我们做过的定点的几何问题,我们可以认为是一个动点在运动到那个位置时的特殊情况。
先说一个我认为最简单的解法,首先你选了A门,那么在这个门后面有汽车的概率为三分之一,也就是说BC两个门中有一个门存在汽车的概率为三分之二。通过主持人的处理现在你知道B门中已经没有了,那肯定就是C门中中奖的概率就是三分之二,也就是说你应该换门。
接下来我说的的提升的思想,这个问题可以转化为现在有n个门,其中一个门后面有一辆汽车,你选择一个门之后,主持人打开了n-2个藏有一只山羊的门,然后问你换不换。如果n=3,这个问题就退化为我们刚才分析的三门问题。
这是第一个抽象,把门的数量抽象出来,不让它是三个门了,因为三个门太具有迷惑性了, 现在如果是100个门,问题就是现在有100个门,其中一个门后面是汽车,你选择了一个,主持人打开了98个门,当然主持人打开的都是山羊门,然后问你换不换。此时我想如果你不是傻子你都会换了吧,100个门你能选中的概率是很小的(一百分之一),主持人帮你排除了98个,此时还不换更待何时。要知道只要你刚才没有选中,你换门后就肯定能选中了。
同样的n趋于无穷大,也就是说你选一个就可以认为是没中了,主持人帮你排除了其他的,只剩一个了,那这个里面就是汽车了。