Microfacet模型采样下的brdf

本文前言

在学习图形学（games101 from bilibili）的时候，也遇到了像这样的问题，Cook-Torrance模型无法实现粗糙度为0时，物体微表面呈现绝对镜面的效果（呈现出一面镜子），为了搜寻解决办法，因此看到了这篇博客，因为是全英文，所以就花了一点时间翻译了一下，方便日后重新观看，红色字对原博客的补充说明

前言

最近我正在为我的渲染器开发microfacet brdf模型，我注意到为microfacet brdf提供一个单独的采样方法是非常必要的，而不是使用默认的方法，因为默认的方法通常用于像漫反射一样的表面，而对于像镜面一样的带有mirror的brdf，效率非常低。下面的图片是由默认采样方法生成的。

左边的猴子是纯反射brdf，这在我之前的博文中提到过，右边的猴子使用microfacet模型，粗糙度值为0（对于一个平滑的光面，光线大体上更趋向于向同一个方向反射，造成更小更锐利的反射）。我本来以为这两只猴子会有类似的结果，但事实证明这里是错误的，我们几乎看不到猴子的反射。其实没有什么问题，事实是，默认采样的粗糙度为0的microfacet模型的收敛率非常低。只要有足够的样本，它就会达到与左图相似的外观。然而，足够的样本数可以是任意的高，这取决于你的brdf有多尖锐。

本文中提到了对microfacet brdf进行采样的正确方法。我想在这篇博客中记录的是这些结论是如何从原始microfacet模型中得出的。使用这些更好的采样方法，我们最终会对那两只猴子得到类似的结果。

为什么默认的抽样方法是低效的

那么，为什么这种默认的抽样方法对于像brdf模型这样的镜像来说是低效的。首先，默认的抽样方法与以下的pdf。

p_{h} (ω) = \frac{c o s (θ)}{π}

$p_h(ω)=\frac{cos(θ)}{π}$

对于像Lambert, OrenNayar这样的漫反射表面，它能达到很好的效果。事实上，它不是漫反射brdfs的取样方法，Lambert brdf的取样方法会尊重一个恒定值的pdf，它还涉及到位于渲染方程或LTE中的余弦因子。

漫反射的brdf是一个均匀分布的，而金属表面呈现出的高光项，更像是集中于一点向周围扩散，所以需要对某个方向进行重要性采样，就像是一个函数中间部分的权重，比两旁的权重占比更大

L_{o} ω_{o} = \int L_{i} (ω_{i}) * f (ω_{i}, ω_{o}) * \cos (θ_{i}) d ω_{i}

$L_o\omega _o=\int{L_i\left( \omega _i \right) *f\left( \omega _i,\omega _o \right) *\cos \left( \theta _i \right) d\omega _i}$

由于对入射光的radiance了解极为困难，甚至不可能，我们唯一拥有的就是brdf和余弦系数。如果brdf和余弦系数的乘积是这个方程中的主导因素，那么上面提到的采样方法可能是有效的。在大多数时候，它在实践中是非常有效的。

然而，当brdf成为主导因素，且粗糙度为0时，默认的取样方法的效率就会迅速下降。对于这里的microfacet brdf，其极端形式就像dirac-delta函数（狄拉克δ函数），几乎不可能得到brdf为非零值的样本。而对于那些幸运的、有非零brdf值的样本，由于其概率低，可能会达到超高值，给采样结果带来高方差。换句话说，收敛率相当低，这正是我们看到上述图像的原因。它甚至可以被当作是一个bug。很明显，我们需要一个更好的方法来对这些microfacet brdfs进行采样。

微表面模型

Microfacet Model是这几年在实时渲染中比较热门的，它是基于物理的着色算法的基本原理。一般来说，它的基本形式是这样的。

f (ω_{i}, ω_{o}, x) = \frac{F (ω_{i}, h) G (ω_{i}, ω_{o}, h) D (h)}{4 c o s (θ_{i}) c o s (θ_{o})}

$f(ω_i,ω_o,x)=\frac{F(ω_i,h)G(ω_i,ω_o,h)D(h)}{4cos(θ_i)cos(θ_o)}$

第一个分量是Fresnel，第二个分量是几何项G项（Geometry Function，一般来说包含Geometry Obstruction和Geometry Shadowing），最后一个分量是正态分布函数（Normal Distribution Function，简称NDF）。与传统的bxdf模型相比，microfacet模型遵守能量守恒规则，允许艺术家通过一个参数而不是两个参数来改变材料的粗糙度，即镜面颜色和镜面功率。

在这个方程式的所有这些因素中，NDF项通常是最主要的。NDF的具体形状在很大程度上受到bxdf的粗糙度的影响。为了对microfacet brdf模型进行采样，通常是先对NDF进行采样，得到一个遵循NDF的随机microfacet法线，然后沿法线反射出射radiance，产生入射方向。

目前有几种NDF。本博客将介绍以下三种，所提到的都是各向同性（当旋转一定方位角时，能得到相同的BRDF）的。

GGX
Beckmann
Blinn

在我们继续之前，有一条规则是所有NDF应该遵循的。

\int_{Ω} D (m) \cos (θ_{m}) d ω = 1

$\int_{\varOmega}{D\left( m \right) \cos \left( \theta _m \right) d\omega =1}$

我们将在下面的推导中使用这个方程。解释这个方程不在本博客的范围内，你们可以参考这里的进一步细节。公式的由来
请注意无论我们接下来用哪种形式进行采样，我们最终都需要得到该采样形式的 $pdf$ 即 $p_h(\omega)$ ，而非 $p_h(θ,\phi)$

NDF（补充）

NDF详细的定义可了解这篇文章（How Is The NDF Really Defined），文章中有对上述规则的说明

接下来介绍下面公式推导之前需要了解的

NDF遵循公式

d A_{h} = D (h) d ω_{h} A (1)

$dA_h=D(h)d\omega_hA\,\,\,\,\,(1)$

同时NDF的归一化条件：

\int_{Ω} D (m) \cos (θ_{m}) d ω = 1 (2)

$\int_{\varOmega}{D\left( m \right) \cos \left( \theta _m \right) d\omega =1} \,\,\,\,\,(2)$

根据式(2)可知 $\int_{\varOmega}{D\left( m \right) \cos \left( \theta _m \right) d\omega =1}$ ，因此 $D(h)cos(θ_h)$ ，即表示当前所采取模型NDF的概率密度（pdf）

概率密度函数的转换有： $p(θ,φ)=sinθp(ω)$

GGX采样

下面是GGX的基本形式。

D (h) = \frac{α^{2}}{π {((α^{2} - 1) \cos^{2} θ + 1)}^{2}}

$D\left( h \right) =\frac{\alpha ^2}{\pi \left( \left( \alpha ^2-1 \right) \cos ^2\theta +1 \right) ^2}$

因此，关于立体角的pdf是这样的。

p_{h} (ω) = \frac{α^{2} \cos θ}{π {((α^{2} - 1) \cos^{2} θ + 1)}^{2}}

$p_h(ω) =\frac{\alpha ^2\cos \theta}{\pi \left( \left( \alpha ^2-1 \right) \cos ^2\theta +1 \right) ^2}$

我们通常不直接对立体角进行采样，而是用球面坐标来采样。所以我们感兴趣的不是关于立体角的pdf，而是关于球坐标的pdf。

p_{h} (θ, ϕ) = s i n θ p_{h} (ω) = \frac{α^{2} \cos θ \sin θ}{π {((α^{2} - 1) \cos^{2} θ + 1)}^{2}}

$p_h\left( \theta ,\phi \right) =sinθp_h(\omega)=\frac{\alpha ^2\cos \theta \sin \theta}{\pi \left( \left( \alpha ^2-1 \right) \cos ^2\theta +1 \right) ^2}$

下面的公式非常简单，基本上是根据特定的pdf进行抽样，反转法在本博客中适用于所有ndf。请注意，这个公式没有 $\pi$ ，也就是说NDF是完全各向同性的，我们可以均匀地采样 $\pi$ 。详细地证明，请参考这里。这里唯一剩下的是如何对 $\theta$ 进行采样。为了做到这一点，我们需要先得到 $θ$ 的pdf。

p_{h} (θ) = \int_{0}^{2 π} p_{h} (θ, ϕ) d ϕ = \frac{2 α^{2} \cos θ \sin θ}{{((α^{2} - 1) \cos^{2} θ + 1)}^{2}}

$p_h\left( \theta \right) =\int_0^{2\pi}{p_h\left( \theta ,\phi \right) d\phi}=\frac{2\alpha ^2\cos \theta \sin \theta}{\left( \left( \alpha ^2-1 \right) \cos ^2\theta +1 \right) ^2}$

接下来我们来计算CDF(Cumulative Distribution Function)：

p_{h} (θ) = \int_{0}^{θ} \frac{2 α^{2} \cos t \sin t}{{((α^{2} - 1) \cos^{2} t + 1)}^{2}} d t

$p_h\left( \theta \right) =\int_0^{\theta}{\frac{2\alpha ^2\cos t\sin t}{\left( \left( \alpha ^2-1 \right) \cos ^2t+1 \right) ^2}dt}$

= \int_{θ}^{0} \frac{2 α^{2} \cos t}{{((α^{2} - 1) \cos^{2} t + 1)}^{2}} d (\cos t)

$=\int_\theta^{0}{\frac{2\alpha ^2\cos t}{\left( \left( \alpha ^2-1 \right) \cos ^2t+1 \right) ^2}d\left( \cos t \right)}$

= \int_{θ}^{0} \frac{α^{2}}{{((α^{2} - 1) \cos^{2} t + 1)}^{2}} d (\cos^{2} t)

$=\int_\theta^{0}{\frac{\alpha ^2}{\left( \left( \alpha ^2-1 \right) \cos ^2t+1 \right) ^2}d\left( \cos ^2t \right)}$

= - \frac{α^{2}}{α^{2} - 1} \int_{θ}^{0} d \frac{1}{\cos^{2} t (α^{2} - 1) + 1}

$=-\frac{\alpha ^2}{\alpha ^2-1}\int_\theta^{0}{d\frac{1}{\cos ^2t\left( \alpha ^2-1 \right) +1}}$

= \frac{α^{2}}{α^{2} - 1} \int_{0}^{θ} d \frac{1}{\cos^{2} t (α^{2} - 1) + 1}

$=\frac{\alpha ^2}{\alpha ^2-1}\int_0^{\theta}{d\frac{1}{\cos ^2t\left( \alpha ^2-1 \right) +1}}$

= \frac{α^{2}}{α^{2} - 1} (\frac{1}{\cos^{2} θ (α^{2} - 1) + 1} - \frac{1}{α^{2}})

$=\frac{\alpha ^2}{\alpha ^2-1}\left( \frac{1}{\cos ^2\theta \left( \alpha ^2-1 \right) +1}-\frac{1}{\alpha ^2} \right)$

= \frac{α^{2}}{\cos^{2} θ {(α^{2} - 1)}^{2} + (α^{2} - 1)} - \frac{1}{α^{2} - 1}

$=\frac{\alpha ^2}{\cos ^2\theta \left( \alpha ^2-1 \right) ^2+\left( \alpha ^2-1 \right)}-\frac{1}{\alpha ^2-1}$

当一个标准随机数 $\epsilon$ 等于这个CDF时，我们有以下方程:

ϵ = \frac{α^{2}}{\cos^{2} θ {(α^{2} - 1)}^{2} + (α^{2} - 1)} - \frac{1}{α^{2} - 1}

$\epsilon =\frac{\alpha ^2}{\cos ^2\theta \left( \alpha ^2-1 \right) ^2+\left( \alpha ^2-1 \right)}-\frac{1}{\alpha ^2-1}$

解这个方程不需要比初中数学多的知识，我想也没有必要把整个过程展示出来。上式的最终解为:
$\theta =\mathrm{arc}\cos \sqrt{\frac{1-\epsilon}{\epsilon \left( \alpha ^2-1 \right) +1}}$ or $\theta =\mathrm{arc}\tan \left( \alpha \sqrt{\frac{\epsilon}{1-\epsilon}} \right)$

上述两个方程式是完全相同的东西。选择使用哪一个只是一个品味问题。

Beckmann采样

Beckmann抽样法的推导过程与上述过程十分相似。这是Beckmann分布：

D (h) = \frac{1}{π α^{2} \cos^{4} θ} e^{- \frac{\tan^{2} θ}{α^{2}}}

$D\left( h \right) =\frac{1}{\pi \alpha ^2\cos ^4\theta}e^{-\frac{\tan ^2\theta}{\alpha ^2}}$

关于球面坐标的pdf是这样的：

p_{h} (θ, ϕ) = \frac{\sin θ}{π α^{2} \cos^{3} θ} e^{- \frac{\tan^{2} θ}{α^{2}}}

$p_h\left( \theta ,\phi \right) =\frac{\sin \theta}{\pi \alpha ^2\cos ^3\theta}e^{-\frac{\tan ^2\theta}{\alpha ^2}}$

同理， $\phi$ 可以被均匀地采样。 $\theta$ 的pdf应该是这样的

p_{h} (θ) = \frac{2 \sin θ}{α^{2} \cos^{3} θ} e^{- \frac{\tan^{2} θ}{α^{2}}}

$p_h\left( \theta \right) =\frac{2\sin \theta}{\alpha ^2\cos ^3\theta}e^{-\frac{\tan ^2\theta}{\alpha ^2}}$

$\theta$ 的CDF可以这样计算:

P_{h} (θ) = \int_{0}^{θ} \frac{2 \sin (t)}{α^{2} \cos^{3} t} e^{- \frac{\tan^{2} t}{α^{2}}} d t = \int_{0}^{θ} \frac{- 2}{α^{2} \cos^{3} t} e^{- \frac{\tan^{2} t}{α^{2}}} d (\cos (t)) = \int_{0}^{θ} \frac{1}{α^{2}} e^{- \frac{\tan^{2} t}{α^{2}}} d (\frac{1}{\cos^{2} (t)}) = \int_{0}^{θ} \frac{1}{α^{2}} e^{\frac{1}{α^{2}} (1 - \frac{1}{\cos^{2} t})} d (\frac{1}{\cos^{2} (t)}) = \int_{0}^{θ} \frac{1}{α^{2}} e^{\frac{1}{α^{2}} (1 - \frac{1}{\cos^{2} t})} d (\frac{1}{\cos^{2} (t)}) = \int_{θ}^{0} d (e^{\frac{1}{α^{2}} (1 - \frac{1}{\cos^{2} t})}) = 1 - e^{\frac{1}{α^{2}} (1 - \frac{1}{\cos^{2} θ})}

$P_h\left( \theta \right) =\int_0^{\theta}{\frac{2\sin \left( t \right)}{\alpha ^2\cos ^3t}e^{-\frac{\tan ^2t}{\alpha ^2}}}dt \\ =\int_0^{\theta}{\frac{-2}{\alpha ^2\cos ^3t}e^{-\frac{\tan ^2t}{\alpha ^2}}}d\left( \cos \left( t \right) \right) \\ =\int_0^{\theta}{\frac{1}{\alpha ^2}e^{-\frac{\tan ^2t}{\alpha ^2}}}d\left( \frac{1}{\cos ^2\left( t \right)} \right) \\ =\int_0^{\theta}{\frac{1}{\alpha ^2}e^{\frac{1}{\alpha ^2}\left( 1-\frac{1}{\cos ^2t} \right)}}d\left( \frac{1}{\cos ^2\left( t \right)} \right) \\ =\int_0^{\theta}{\frac{1}{\alpha ^2}e^{\frac{1}{\alpha ^2}\left( 1-\frac{1}{\cos ^2t} \right)}}d\left( \frac{1}{\cos ^2\left( t \right)} \right) \\ =\int_{\theta}^0{d\left( e^{\frac{1}{\alpha ^2}\left( 1-\frac{1}{\cos ^2t} \right)} \right)} \\ =1-e^{\frac{1}{\alpha ^2}\left( 1-\frac{1}{\cos ^2\theta} \right)}$

解决 $P_h(\theta)= \epsilon$ 的方程可以得到以下解决方案。

$\theta =\mathrm{arc}\cos \sqrt{\frac{1}{1-\alpha ^2\ln \left( 1-\epsilon \right)}}$ or $\theta =\mathrm{arc}\tan \sqrt{-\alpha ^2\ln \left( 1-\epsilon \right)}$

Blinn采样

这里是Blinn的NDF：

D (h) = \frac{α + 2}{2 π} {(\cos θ)}^{α}

$D\left( h \right) =\frac{\alpha +2}{2\pi}\left( \cos \theta \right) ^{\alpha}$

关于球面坐标的pdf是：

p_{h} (θ, ϕ) = \frac{α + 2}{2 π} {(\cos θ)}^{α + 1} \sin θ

$p_h\left( \theta ,\phi \right) =\frac{\alpha +2}{2\pi}\left( \cos \theta \right) ^{\alpha +1}\sin \theta$

分离 $\phi$ 可以得到以下结果：

p_{h} (θ) = (α + 2) {(\cos θ)}^{α + 1} \sin θ

$p_h\left( \theta \right) =\left( \alpha +2 \right) \left( \cos \theta \right) ^{\alpha +1}\sin \theta$

这个比前两个简单多了，这是CDF:

P_{h} (θ) = \int_{0}^{θ} (α + 2) \cos {(t)}^{α + 1} \sin (t) d (t) = \int_{θ}^{0} (α + 2) \cos {(t)}^{α + 1} d (\cos (t)) = \int_{θ}^{0} d (\cos {(t)}^{α + 2}) = 1 - \cos {(θ)}^{α + 2}

$P_h\left( \theta \right) =\int_0^{\theta}{\left( \alpha +2 \right) \cos \left( t \right) ^{\alpha +1}\sin \left( t \right) d\left( t \right)} \\ =\int_{\theta}^0{\left( \alpha +2 \right) \cos \left( t \right) ^{\alpha +1}d\left( \cos \left( t \right) \right)} \\ =\int_{\theta}^0{d\left( \cos \left( t \right) ^{\alpha +2} \right)} \\ =1-\cos \left( \theta \right) ^{\alpha +2}$

以下是经典随机数与 $\theta$ 之间的关系

θ = a r c \cos ({(1 - ϵ)}^{\frac{1}{α + 2}})

$\theta =\mathrm{arc}\cos \left( \left( 1-\epsilon \right) ^{\frac{1}{\alpha +2}} \right)$

由于 $\epsilon$ 是一个经典的随机数， $1-\epsilon$ 也是一个。因此，我们可以用下面的方程式来简化上述方程式。

θ = a r c \cos (ϵ^{\frac{1}{α + 2}})

$\theta =\mathrm{arc}\cos \left( \epsilon^{\frac{1}{\alpha +2}} \right)$

关于这种抽样方法，再多说一点。我对这个解决方案不太自信，尽管我看不出这个推导有什么问题。PBRT（Physically Based Rendering: From Theory to Implemention 3rd）对Blinn给出了一个类似的解决方案，这就是：

θ = a r c \cos (ϵ^{\frac{1}{α + 1}})

$\theta =\mathrm{arc}\cos \left( \epsilon^{\frac{1}{\alpha +1}} \right)$

而另一个开源的光线追踪器Mitsuba也采用了这种采样方式。我不太理解书中的推导，所以我就坚持用这个，也是这里提到的那个。我试了一下pbrt的取样方式，从图片上可以看出只有微小的差别。

一个额外的步骤

还有一步没有完成。我们感兴趣的是入射方向的采样，而不是法线。我们之所以直接对法线而不是入射方向进行采样，是因为NDF通常是microfacet模型中的主导因素。在对法线采样后生成入射方向是比入射方向本身采样更有效的方法。

然而，我们计算给定入射方向的PDF的方式与上述尊重半向量的方式不同，无论是实体角还是球面坐标。到目前为止，我们所拥有的是半向量的PDF，一个转换是必要的。

p (θ) = p_{h} (θ) \frac{d ω_{h}}{d ω_{i}} = \frac{p_{h} (θ)}{4 (ω_{o} \cdot ω_{h})}

$p\left( \theta \right) =p_h\left( \theta \right) \frac{d\omega _h}{d\omega _i}=\frac{p_h\left( \theta \right)}{4\left( \omega _o·\omega _h \right)}$

结论

下面是新的取样方法之后和之前产生的图像。

64spp，GGX被选为NDF，三只猴子的粗糙度值不同（0.0,0.5,1.0）。从图中我们可以看到，最左边的猴子得到的结果比默认的采样方法好得多。对于其他两只猴子，我们用余弦-pdf取样方法得到了类似的结果。

已经有一些研究工作改进了这个博客中提到的采样方法。一旦我有一些空闲时间，我可能需要试试他们的方法。

本文后续

原文的翻译到这里就结束了，来看看用了重要性采样后的作业7对比吧！

第一幅图的粗糙度因为接近于0，可以看到略微的镜面效果，但是不如第二张(去掉漫反射项)明显

请忽略第二幅图，球体中映射灯光为全黑，我仍在查找这个问题的solution

扩展阅读

引用

翻译来源：Sampling microfacet BRDF

上一篇低差异序列 (low-discrepancy sequences)之Hammerysley在半球中采样点方法的介绍

下一篇More Effective C++ 条款（1-9）总结

本文作者：shadow_lr

本文链接：https://www.cnblogs.com/shadow-lr/p/MicrofacetBRDFSampling.html

posted @ 2021-09-27 14:11 shadow_lr 阅读(989) 评论(0) 编辑收藏举报

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Microfacet模型采样下的brdf

本文前言

前言

为什么默认的抽样方法是低效的

微表面模型

NDF（补充）

GGX采样

Beckmann采样

Blinn采样

一个额外的步骤

结论

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