算法灵魂源自数学--数论数学笔记

数论数学笔记

整数的可除性
同余式
- 同余的概论和及基本性质
  - 同余定义
- 剩余类和完全剩余系
同余式
- 基本概念及一次同余式
- 高次同余式的解数及解法
  - 高次同余式的解数
  - 高次同余式的提升
二次同余式与平方剩余
原根与指标
- 指数
  - 指数的基本性质
  - 大指数构造
- 原根
素数检验
连分数
- 简单连分数

整数的可除性

整除的概念及欧几里得除法

整除定义

设 $a,b$ 是任意两个整数，其中 $b \not ={0}.$ 如果存在一个整数 $q$ 使得等式

$\qquad a=q \cdot b$

成立，就称 $b$ 整除 $a$，记作 $b \mid a$，

把 $b$ 叫做 $a$ 的因数，

把 $a$ 称为 $b$ 的倍数

否则，就称 $b$ 不能整除 $a$，记作 $b \nmid a$

定理

整除具有传递性

$设a,b,c \not ={0} 是三个整数，有 \quad{{b \mid a, c \mid b}\Rightarrow{c \mid a}}$
在加法、减法运算，整除的性质是保持的

$设a,b,c \not ={0} 是三个整数，有 \quad{{c \mid a, c \mid b}\Rightarrow{c \mid a \pm b}}$
在线性组合中，整除的性质是保持的

$设a,b,c \not ={0} 是三个整数. 若 c \mid a, c \mid b,则对任意整数 s,t, \\ 有c \mid (s \cdot a + t \cdot b).$

推广：

$设整数 c \not ={0}. 若整数 a_1,...,a_n 都是整数 c 的倍数，则对任意 n 个整数 s_1,...,s_n,整数 \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad s_1a_1+...+s_na_n \\ 是c的倍数.$

$设a,b都是非零整数. 若a \mid b, b \mid a, 则 a = \pm b.$

素数与合数的定义

$设整数n \not ={0, \pm 1}.如果除了显然因数 \pm 1 和 \pm n 外，n没有其他因数，那么称 n 为素数【质数】，否则叫做合数$

如果没有特殊声明，素数一般是指正整数，通常写作 $p$

定理

每个合数必定有素因子

$设n是一个正和数，p是n的一个大于1的最小正因数，则p一定是素数，且p一定是素数，且 p \leqslant \sqrt{n}$
厄拉托塞师【 $Eratoshenes$ 】筛法依据

$设 n 是正整数. 如果对所有的素数 p \sqrt{n}，都有 p \nmid n，则 n 一定是素数.$
素数有无穷多个.
欧几里得除法

$设 a,b 是两个整数，其中 b > 0，则存在唯一的整数 q,r 使得$
$\qquad a=q \cdot b + r, \quad 0 \leqslant r < b$

不完全商和余数定义

在 欧几里得除法 的公式中 $q$ 叫做 $a$ 被 $b$ 除所得的 不完全商，$r$ 叫做 $a$ 被 $b$ 除所得的余数

推理：在欧几里得除法的条件下，$b \mid a$ 的充要条件是 $a$ 被 $b$ 除所得的余数 $r=0.$

引入一个数学符号

$设 x 是实数. 称 x 的整数部分为小于或等于x的最大整数，记成 [x]，此时，有$
$\qquad [x] \leqslant x < [x] + 1$

则在欧几里得除法中的不完全商 $q$ 可以写作 $q=[\dfrac{a}{b}]$，余数 $r$ 可以写为 $r=a-[\dfrac{a}{b}].$

素数的平凡判别：

对于给定正整数 $N$，设不大于 $\sqrt{N}$ 的所有素数为 $p_1,p_2,\cdots,p_s$. 如果 $N$ 被所有 $p_i$ 除的余数都不为零，即 $p_i \nmid n,\; 1 \leqslant i \leqslant s$，则 $N$ 是素数

定理：

运用欧几里得除法时，余数取其它形式

$设a,b是两个整数，其中 b > 0. 则对任意的整数 c，存在唯一的整数 q,r 使$
$\qquad a = a \cdot b + r,\quad c \leqslant r < b+c$

最大公因数与广义欧几里得除法

最大公因数

$设 a_1,...,a_n 是 n(n \geqslant 2) 个整数. \\ 若整数 d 是它们中每一个数的因数，则 d 就是a_1,...,a_n的一个公因数.$
$\quad d 是 a_1,...,a_n 的一个公因数的数学表达式为$
$\qquad\quad d \mid a_1,...,d\mid a_n$
$如果整数a_1,...,a_n不全为零，那么整数a_1,...,a_n 的所有公因数中最大的一个公因数称作$ 最大公因数
$ 记住 (a_1,...,a_n) 当(a_1,...,a_n)=1，称 a_1,...,a_n $ 互素或互质

定理

$设a,b是两个整数，则有 (0,b)=b$

广义欧几里得除法

$设a,b是任意两个正整数，记r_{-2}=a,r_{-b}=b，反复运用欧几里得除法，必然存在 n 使得 r_{n+1}=0$

$设a,b是任意两个正整数，则(a,b)=r_n，并且 a>b 时，计算(a,b)的时间为 \;O(\log a \log^2 b).$

$B \hat{e} zout$ 等式

$\qquad 设a,b是任意两个正整数，则存在s,t使得$
$\qquad\qquad s \cdot a + t \cdot b = (a,b)$

$整数 a,b 互素的充分必要条件是存在整数 s,t使得$

$\qquad\qquad s a + t b = 1$

最大公因数性质

$设a,b是任意两个不全为零的整数，d是正整数，则d是整数a,b的最大公因数的充要条件是$

$d \mid a, d \mid b$
$若 e \mid a, e \mid b, 则 e \mid d$

互素整数构造 $\Big(\dfrac{a}{(a,b)},\dfrac{b}{(a,b)}\Big) = 1$

$设 a,b 和 u,v 都是不全为零的整数，如果$
$\qquad\qquad a=q \cdot u + r \cdot v, \; b = s \cdot u + t \cdot v$
$其中q,r,s,t是整数，且q \cdot t - r \cdot v = 1，则 (a,b)=(u,v)$

整除的进一步性质及最小公倍数

最小公倍数

设 $a_1,...,a_n$ 是 $n$ 个整数. 若 $D$ 是这 $n$ 个数的倍数，则 $D$ 叫做这 $n$ 个数的公倍数.
在 $a_1,...,a_n$ 的公倍数中最小正整数叫做最小公倍数，记作 $[a_1,...,a_n]$

定理

$设a,b是两个整数，且 (a,b) = 1. 则$
- $若 a \mid D, b \mid D, 则a \cdot b \mid D$
- $[a,b]=a \mid b$

最小公倍数与最大公因数

$\qquad 设 a,b 是两个正整数，则$

$\qquad\quad 若 a\mid D,b\mid D,则 [a,b] \mid D.$
$\qquad\quad [a,b]=\dfrac{a\cdot b}{(a,b)}$

素数分解

$给定正合数 n > 1. 如果存在整数 a,b 使得$
$\qquad n\mid a^2 - b^2, \quad n\nmid a - b, \quad n\nmid a + b$
$\;\; 则 (n,a-b) 和 (n,a+b) 都是 n 的真因数$

标准分解式

$任意整数 n > 1 可以唯一地表示成$
$\qquad n=p^{\alpha_1}_1 \cdots p^{\alpha_s}_s , \quad \alpha_i > 0,\;i=1,...,s$
$其中 p_i < p_j (i < j)是素数$
因数个数

$设正整数 n 有因数分解式$
$\qquad n=p^{\alpha_1}_1 \cdots p^{\alpha_s}_s , \quad \alpha_i > 0,\;i=1,...,s$
$则n的因数数量$
$\qquad d(n)=(1+\alpha_1)\cdots(1+\alpha_s)$
最小公因数与最大公倍数

$设 a,b 是两个正整数，且都因式分解$
$\qquad n=p^{\alpha_1}_1 \cdots p^{\alpha_s}_s , \quad \alpha_i > 0,\;i=1,...,s$
$\qquad n=p^{\beta_1}_1 \cdots p^{\beta_s}_s , \quad \beta_i > 0,\;i=1,...,s$
$则$
$(a,b)=p^{\gamma_1}_1 \cdots p^{\gamma_s}_s , \quad \gamma_i =\min(\alpha_i,\;\beta_i),\;i=1,...,s$
$[a,b]=p^{\delta_1}_1 \cdots p^{\delta_s}_s , \quad \delta_i =\max(\alpha_i,\;\beta_i),\;i=1,...,s$

素数定理

$\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{\pi(x)}{\dfrac{x}{\ln x}}=1$

同余式

同余的概论和及基本性质

同余定义

$给定一个正整数 m，两个整数 a,b叫做模 m 同余$

$如果 a-b 被 m 整除，或 m \mid a - b，就记作 a \equiv (\mod m). 否则，叫做模 m 不同余，记住 a \not \equiv b (\mod m)$

同余性质

$设m是一个正整数，设d\cdot a\equiv d\cdot b (\mod m). 如果(d,m)=1，则$

$\qquad a \equiv b (\mod m)$
$设 m 是一个正整数，设 a \equiv (\mod m),\;d > 0，则$

$\qquad d \cdot a \equiv d \cdot b (\mod d \cdot m)$
$设 m 是一个正整数，设 a \equiv b (\mod m). 如果整数 d \mid (a,b,m)$

$\qquad \dfrac{a}{d} \equiv \dfrac{b}{d} (\mod \dfrac{m}{d})$
$设 a \equiv b (\mod m), 则$

$\qquad(a,m)=(b,m)$

剩余类和完全剩余系

$设m是一个正整数，则$

$任意整数必包含在一个 C_r 中，0 \leqslant r \leqslant m -1;$
$C_a = C_b的充分必要条件是 a \equiv b (\mod m)$
$C_a与C_b的交集为空集的充分必要条件是 a \not \equiv b (\mod m)$

剩余系与剩余

$C_a 叫做模 m 的 a 的剩余类. 一个剩余系中的任意数叫做该类的$ 剩余 $或$ 代表元. $若r_0,r_1,\cdot,C_{m-1}是 m 个整数，并且其中任何两个数都不在一个剩余类里，则 r_0,\cdot,r_{m-1}叫做模m 的$ 完全剩余系

欧拉函数

$设m是一个正整数，则m 个整数 1,\cdot,m-1,m中与m 互素的整数的个数，记作 \varphi(m)，通常叫$ 做欧拉函数

定理

$对于素数幂 m = p^\alpha，有$

$\qquad \varphi(m)=p^\alpha - p^{\alpha-1}=m \prod\limits_{p \mid m}(1 - \dfrac{1}{p})$

简化剩余系

$一个模m的剩余系叫做$ 简化剩余类， $如果该类中存在一个与m 互素的剩余. 这时简化剩余类中的剩余叫做$ 简化剩余

$设m 是一个正整数. 在模m 的所有不同简化剩余类中，从每个类任取一个数组成的整数的集合，叫做模m 的一个$ 简化剩余系

$元素个数为\; \varphi(m)$

定理

$设m是一个正整数，a 是满足(a,m)=1的整数，则存在唯一的整数a'，1 \leqslant a' < m使得$

$\qquad a \cdot a' \equiv 1 (\mod m)$

欧拉定理性质

$设正整数 m 的标准因数分解式为$
$\qquad m=\prod\limits_{p \mid m}p^\alpha=p^{\alpha_1}_1 \cdots p^{\alpha_s}_k,$

$\qquad \varphi(m)=p^\alpha - p^{\alpha-1}=m \prod\limits_{p \mid m}(1 - \dfrac{1}{p})=m(1 - \dfrac{1}{p_1})\cdots(1 - \dfrac{1}{p_k})$

$Euler$

$设 m 是大于1的整数. 如果 a 是满足 (a,m)=1 的整数, 则$
$\qquad a^{\varphi(m)} \equiv 1 (\mod m)$

$Fermat$

$设p是一个素数，则对任意整数a，有$
$\qquad a^p \equiv a (\mod p)$

$Wilson$

$设p是一个素数，则$
$\qquad (p-1)!\equiv -1(\mod p)$

同余式

基本概念及一次同余式

同余式的基本概念

$设m是一个正整数，f(x)为多项式$
$\qquad f(x)= a_nx^n + \cdots + a_1x + a_0$
$其中a_i是整数，则$
$\qquad f(x) \equiv 0 (\mod m)$
$称之为$ 同余式 $.若 a_n \not \equiv 0 (\mod m), 则 n 叫做 f(x) 的$ 次数 $，记作 \deg f. 此时称式子为模m 的n $ 次同余式

定理

$设 m 是一个正整数，a 是满足 m \nmid{a} 的整数，则一次同余式 $

$\qquad ax \equiv 1 (\mod m)$
$有解的充分必要条件是$
$\qquad (a,m)=1. 且当同余式有解，其解唯一$

逆元

$设 m 是一个正整数，a是一个整数. 如果存在整数a'使得$
$\qquad a \cdot a' \equiv a' \cdot a \equiv 1 (\mod m)$
$成立，则a 称为模m的$ 可逆元
$a'称为a的模m$ 逆元

定理

$设m是一个正整数，则$

$\qquad整数a是模m简化剩余 \iff 整数a是模m逆元$
通常的一次同余式求解

$设m是一个正整数，a 是满足 m \nmid{a} 的整数，则一次同余式$
$\qquad ax \equiv 1 (\mod m)$
$有解的充要条件是 (a,m) \mid b，解为$
$x \equiv \dfrac{b}{(a,m)} \cdot \bigg( \Big( \dfrac{a}{(a,m)} \Big)^{-1} \Big( \mod \dfrac{m}{(a,m)} \Big) \bigg) + t \cdot \dfrac{m}{(a,m)} (\mod m), \qquad t= 0,1,\cdots,(a,m)-1$

中国剩余定理

$设 m_1,\cdots,m_k是k个两两互素的正整数，则对任意整数 b_1, \cdots,b_k, 同余式组$

$ \qquad \begin{cases} x \equiv b_1 (\mod m_1) \\ \qquad\vdots \\ x \equiv b_k (\mod m_k) \end{cases} $

$有唯一解$

$令$
$\qquad m = m_1\cdots m_k, \quad m = m_i \cdots M_i, i = 1,\cdots,k$

$则解表示为$
$\qquad x \equiv b_1\cdot M'_1 \cdots M_1 + b_2\cdot M'_2 \cdots M_2 + \cdots + b_k\cdot M'_k \cdots M_k (\mod m)$

高次同余式的解数及解法

高次同余式的解数

$设 m_1,\cdots,m_k是k个两两互素的正整数， m = m_1\cdots m_k,同余式$

$\qquad f(x) \equiv 0 (\mod m)$

$与同余式组$

$ \qquad \begin{cases} f(x) \equiv 0 (\mod m_1) \\ \qquad\vdots \\ f(x) \equiv 0 (\mod m_k) \end{cases} $

$等价. 如果用 T_i 表示同余式$

$\qquad f(x) \equiv 0 (\mod m_i)$

$的解数 i = 1, \cdots, k, T 表示同余式的解数，则$

$\qquad T = T_1 \cdots T_k$

高次同余式的提升

$设 x \equiv x_1(\mod p) 是同余式$

$\qquad f(x) \equiv 0 (\mod p)$

$的一个解，且$

$\qquad (f'(x),p)=1$

$则同余式有解为$

$\qquad x \equiv x_\alpha(\mod p^\alpha) $

$其中x_\alpha 由下面的关系式递归得出$

$\qquad x_i \equiv x_{i-1} + t_{i-1} \cdot p^{i-1} (\mod p^i), \quad i = 2,\cdots ,\alpha$

$\qquad t_{i-1} \equiv \dfrac{-f(x_{i-1})}{p^{i-1}} \cdot (f'(x_1)^{-1} (\mod p)) (\mod p) \quad i = 2,\cdots ,\alpha$

二次同余式与平方剩余

一般二次同余式

平方剩余

$设m是正整数. 若同余式$
$\qquad x^2 \equiv a (\mod m), \quad (a,m)=1$
$有解，则a称为模m的$ 平方剩余【二次剩余】 $；否则称为$ 平方非剩余【二次非剩余】

模为奇素数的平方剩余与平方非剩余

欧拉判别条件

$设 p 是奇素数，(a,m)=1 ，则$

$\qquad a是模p的平方剩余 \iff a^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 (\mod p) $

$\qquad a是模p的平方非剩余 \iff a^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1 (\mod p) $

$并且，当a是模p的平方剩余，恰有二解$

推论

$设 p 是奇素数，(a_1,m)=1 ，(a_2,m)=1 则$

$如果a_1,a_2是模p的平方剩余 \implies a_1 \cdot a_2是模p的平方剩余$
$如果a_1,a_2是模p的平方非剩余 \implies a_1 \cdot a_2是模p的平方剩余$
$如果a_1是模p的平方剩余，a_2是模p的平方非剩余 \implies a_1 \cdot a_2是模p的平方非剩余$

勒让得符号

$设p 是素数，定义 Legendre 符号$

$\qquad\Big(\dfrac{a}{p}\Big)\begin{cases} 1,\quad 若a是模p的平方剩余；\\ -1,\quad 若a是模p的平方非剩余；\\ 0, \quad 若 p \mid a \end{cases}$

定理

欧拉判别法则

$设 p 是奇素数，则对任意整数a，$

$\Big(\dfrac{a}{p}\Big) \equiv a^{\frac{p-1}{2}} (\mod p)$
$设 p 是奇素数，则$

$周期性 \Big(\dfrac{a + p}{p}\Big) = \Big(\dfrac{a}{p}\Big)$

$完全可乘性 \Big(\dfrac{a \cdot b}{p}\Big) = \Big(\dfrac{a}{p}\Big)\Big(\dfrac{b}{p}\Big)$

$设(a,p)=1，则 \Big(\dfrac{a^2}{p}\Big) = 1$

高斯引理

$设 p 是奇素数，整数a，(a,p)=1，如果整数$

$\qquad a\cdot1,a\cdot2,\cdots,a\cdot \dfrac{p-1}{2}$

$中模p的最小正剩余大于\cfrac{p}{2}的个数是m，则$

$\qquad \Big(\dfrac{a}{p}\Big) = (-1)^m$

二次互反律

$若 p,q 是互素奇素数，则$

$\qquad \Big(\dfrac{q}{p}\Big) = (-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{q-1}{2}} \Big(\dfrac{p}{q}\Big)$

雅可比符号

$设 m = p_1 \cdots p_r 是奇素数 p_i的乘积. 对任意整数 a，定义 Jacobi 符号$
$\qquad \Big(\dfrac{a}{m}\Big) = \Big(\dfrac{a}{p_1}\Big)\cdots \Big(\dfrac{q}{p_r}\Big)$

模平方根

模 p 平方根

$设p 是形为 4k + 3 的素数，如果同余式$

$\qquad x^2 \equiv a (\mod p)$

$有解，则其解是$

$\qquad x \equiv \pm a^{\frac{p+1}{4}} (\mod p)$
模 m 平方根

$m是合数的二次同余式$

$\qquad x^2 \equiv a (\mod m),\quad (a.m)=1$

$当 m = 2^\delta p^{\alpha_1}_1 \cdots p^{\alpha_k}_k 时同余式等价于$

$\begin{cases} \quad x^2 \equiv a (\mod 2^\delta) \\ \quad x^2 \equiv a (\mod p^{\alpha_1}_1) \\ \qquad \vdots \\ \quad x^2 \equiv a (\mod p^{\alpha_k}_k) \end{cases}$

$设 p 是奇素数，则同余式 \; x^2 \equiv a (\mod p^{\alpha}),\quad (a,p)=1,\;\alpha>0有解 \iff a是模p的平方剩余$
$解数为2$

原根与指标

指数

$m > 1是整数，a 是与m 互素的正整数，则$
$\qquad a^e \equiv 1 (\mod m)$
$成立的最小正整数e称为 a 对模m 的$ 指数，$记作 ord_m(a) 如果 a 对模m 的指数是 \varphi(m)，则 a 叫做模m 的$ 原根

指数的基本性质

$m > 1是整数，a 是与m 互素的正整数，则整数d使得$

$\qquad a^d \equiv 1 (\mod m) \iff ord_m(a) \mid d$

$若 b \equiv a (\mod m)，则 ord_m(a) = ord_m(a) $
$设a^{-1} 使得 ^{-1} \cdot a \equiv 1 (\mod m)，则 ord_m(a^{-1}) = ord_m(a)$
$a^d \equiv a^k (\mod m) \iff d \equiv k (\mod ord_m(a))$
$ord_m(a^d) = \dfrac{ord_m(a)}{(d,ord_m(a))}$

大指数构造

$m > 1是整数，a,b 是与m 互素的正整数，如果(ord_m(a),ord_m(b)) = 1，则$

$\qquad ord_m(a \cdot b) = ord_m(a) \cdot ord_m(b)$

$设 m,n 都是大于 1 的整数，a 是与m 互素的正整数，则$

$若 n \mid m，则 ord_n(a) \mid ord_m(a)$
$若 (m,n)=1，则\; ord_{mn}(a) = [ord_m(a),ord_n(a)]$

原根

$设p 是奇素数，则模p的原根存在，且有\varphi(p-1)个原根，其中 \varphi 为欧拉函数$
$设p 是奇素数，如果整数g是模p原根，则有$

$\qquad g^{p-1} \not \equiv 1 (\mod p^2) \quad or \quad (g+p)^{p-1} \not \equiv 1 (\mod p^2)$

素数检验

伪素数

伪素数 $Fermat$ 素性检验

$设 n 是一个奇合数，如果整数 b，(b,n) = 1 使得同余式$
$\qquad b^{n-1} \equiv 1 (\mod n)$
$成立，则n 叫做对基 b 的$ 伪素数

$Fermat$ 素性检验

$给定奇素数 n \geqslant 3 和安全参数 t$

$随机选取整数b，(b,n) = 1，\quad 2 \leqslant b \leqslant n -2$
$计算 r = b^{n-1} (\mod n)$
$如果 r \not ={1}，则 n 是合数$
$上述过程重复 t 次$

$Carmicheal$ 数

$和数 n 称为 Carmicheal 数，如果对所有的正整数b，(b,n) = 1,，都有同余式$
$\qquad b^{n-1} \equiv 1 (\mod n)$
$成立$

定理

$设 n 是一个奇合数$

$如果 n 被一个大于 1 平方数整除，则 n 不是 Carmicheal 数$
$如果 n = p_1\cdots p_k 是一个无平方数，则$

$\qquad n 是 Carmicheal 数 \iff p_i - 1 \mid n -1,\quad 1 \leqslant i \leqslant k$

$Euler$ 伪素数

$设 n 是一个正奇合数，如果整数 b 与 n 互素，满足$
$b^{\frac{n-1}{2}} \equiv \Big(\dfrac{b}{n}\Big) (\mod n)$
$则 n称为对于基b的$ $Euler$ 伪素数

Solovay-Stassen 素性检验