网络流学习笔记

前言

因为网络流非常的重要，并且之前的理解都比较模糊，模板什么的整理的也不全，所以写一篇博客用来整理网络流的知识。也是供自己复习使用。

一些基本的定义

• 流量：$f(u,v)$表示一条从u到v的边流过的水(当然，不一定真是水，只是流过的东西)是多少

• 容量：$c(u,v)$表示一条u到v的边的最大流量是多少

• 源点，汇点：源点通常用s表示，其没有入边，汇点通常用t表示，其没有出边

• 斜对称性：$\mathrm{\forall }f(u,v)=-f(v,u)$。所以反悔边每次就是加上当前边本次的流量

• 流量守恒：除了源点汇点，其他点进入的与出去的流量是相等的

• 剩余流量：一条边的容量减去当前的流量后剩余的容量，即$c(u,v)-f(u,v)$

• 增广路：存在一条从源点到汇点的路径，并且这条路径上剩余流量的最小值非负，即存在增广路

• 最大流：使当前图不再有增广路，此图源点出去的流量之和即为最大流量

• 最小割：将一张图分成S，T两个子图，并且$s\in S,t\in T$，他的割为$\sum _{u\in S,v\in T}c(u,v)$。最小割即为让这个值最小

大致思路

网络流，其实就是一种在图上的带悔贪心，网络流有很多种做法，这里主要介绍dinic算法。

在网络流中，最重要的就是反悔边的存在，因为如果每次直接搜，很有可能因为选的边不好，导致不是最大流量。但如果加上反悔边的话，就等于我们会考虑所有的情况，所以最终一定可以搜出最大值。但是对于证明我不是很会，且网络流的考点也是在建模上，所以就不给出证明了。

对于dinic算法，我们的做法是先做一遍bfs，同时将这个图分层。然后，再对这个分层图dfs找增广路就可以了。

bfs部分：我们从汇点开始，除汇点外的点层数都设成inf，然后将汇点加入队列做bfs。每次从队列中取出一个点，对于他所有剩余流量大于0的并且还没被bfs过的点，更新他的层数为当前点的层数加1，然后丢入队列中。最后，只要汇点层数被更新过，就说明还有增广路。

点击查看代码

bool bfs(){
    for(int i=1;i<=n;i++)dis[i]=inf;//初始化层数
    q.push(s);dis[s]=0;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();
        now[u]=last[u];
        for(int i=last[u];i;i=e[i].lt){
            int v=e[i].to;
            if(dis[v]==inf&&e[i].val>0){//更新别的点的层数
                dis[v]=dis[u]+1;
                q.push(v);
            }
        }
    }
    if(dis[t]!=inf)return true;//判断是否还有增广路
    return false;
}

dfs部分：如果有增广路，从汇点开始，因为分了层，每次只会往下一层的走。并在递归的时候记录这条路径上的最小流量，如果到了汇点就return这个最小流量。如果回溯的时候流量大于0，就把这条路径上的边都减去这个流量就可以了。

点击查看代码

int dfs(int u,int sum){
    if(u==t)return  sum;
    int k=0,res=0;
    for(int i=now[u];i&&sum>0;i=e[i].lt){
        int v=e[i].to;
        now[u]=i;
        if(e[i].val>0&&dis[v]==dis[u]+1){
            k=dfs(v,min(sum,e[i].val));
            if(k==0)dis[v]=inf;
            e[i].val-=k;
            e[i^1].val+=k;
            res+=k;
            sum-=k;
        }
    }
    return res;
}

最小割

割去一些边，使得$s\in S,t\in T$,s不能到达t,是被割去的边的容量和最小

定理：最小割=最大流

证明：显然，最小割不会小于最大流，不然最大流会变小。而假设最小割大于最大流，那么根据定义，前面的所有子图的最小割一定大于最大流，那么最大流就会变大，所以最大流一定等于最小割。

应用：最小割可以用来解决一些互相依赖与排斥的问题。如果一个问题可以转化为二分图的话，从源点向左侧点连他们权值的边，左侧点向他排斥的点连inf边，右侧的点向汇点连他权值的边。根据最小割的定义，肯定会割去左侧或右侧的边，因为中间的边为inf，肯定不会割掉。为了使s，t互不联通，要么割去他自己的边，要么割去与他排斥的边，所以一个点与他互相排斥的点只会选一个，而被割去左侧的边，就等于割去左侧的点，割去右侧的边，就等于割去右侧的点。

所以，最小割可以用来解决一些点（或实际的东西）之间选择有排斥或依赖关系的问题。

最小点覆盖

用最少的点使得所有的边至少有一个点在被选中的点集中。

定理：最小点覆盖=最大匹配

证明：因为求出最大匹配后，不会有变两个点都未被选择。且剩余的边也不会出现x(因为有x显然会有更大的匹配)，所以只要对于每个边，选出其中少的那一边就可以了。

最大独立集

选出最多的点，使得这些点之间两两没有边链接

定理：最大全独立集=点数-最小点覆盖

证明：因为点覆盖就等于包括了所有边，只要删去所有点覆盖的点，就等于删去了所有的边，就是独立集了。

最小路径覆盖

定理：最小路径覆盖等于拆点后原点数减去最大匹配

证明：将一个点拆成出点入点后，跑最大匹配的话，一条边备选等于选择这条边，显然每个点的入点只会用一次，所以不会有相交的路径。而每选一条边就可以少选一个点，显然这然就是最小路径覆盖了。

应用：魔术球问题 。这个题可以把要求转换成将满足要求的点连边，选出最少的路径(就对应了柱子)覆盖了所有的点。

所有，最小路径覆盖可以解决一些点（或一些实际的东西）相邻之间有选择的限制条件，你需要将他们分成不同的组，最小能分成多少组。

网络流的一些心得

• 网络流是一种贪心的动态分配的过程

• 网络流大的来说就是将一些实际的限制转化成图上有关的问题。如流量可以限制上限，按一定的规则连边可以处理两点之间的关系等。

• 对于网络流的题目，通常就是将其转化成图后，在做上述的一些网络流的操作。所以通常也可以从这些操作的定义入手，去思考网络流该如何建图转换。

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本文作者：shAdom
本文链接：https://www.cnblogs.com/shadom/p/17552193.html
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