tag数组-刷题预备知识-4.一通百通解决二分查找问题

文章目录

1. 二分法查找法的基本思想
2. 二分查找的时间复杂度
3. 二分查找的几个模版
4. 总结

1. 二分法查找法的基本思想

二分法其实就是使用了分治法的思想;
二分法的基本思想是将n个元素分成大致相等的两部分, 取nums[mid] 与 target 做比较:
- 如果 target = nums[mid], 则找到target, 运行结束, 返回mid;
- 如果 target > nums[mid], 则只需要在数组nums的右半部分继续搜索 target即可;
- 如果 target < nums[mid], 则只需要在数组nums的左半部分继续搜索 target即可;

2. 二分查找的时间复杂度

二分查找法的时间复杂度即为 while循环的次数

总共有n个元素, 不断的折半循环下去就是 n, n/2, n/4,… n/2^k (这些都是每次需要进行比较操作的元素个数), 其中k是循环的个数;
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3. 二分查找的几个模版

一般而言,当一个题目出现以下特征之一时, 我们应该联想到它是否能够使用二分查找解题:

待查找的数组有序或局部有序
题目要求我们解题的时间复杂度低于 O(n), 或者直接就要求时间复杂度为O(log n)

二分查找有很多变体, 使用时需要注意查找条件, 判断条件和左右边界的更新方式, 三者配合不好就很容易出现死循环或遗漏区间, 这也是因此二分法总被人说"十个二分九个错"的一大原因;

下面我们将介绍几种二分查找的模板:
- 标准的二分查找
- 二分查找左边界
- 二分查找右边届
- 二分查找左右边界
- 二分查找极值点

3.1 模板一: 标准的二分查找

标准的二分查找的使用场景(也是算法题目的解题关键字): 数组元素有序且不可重复

我们以经典例题: lt.704-二分查找为例, 给出这种要求数组元素有序不可重复的二分查找的模板:

//“搜索一个数，如果存在，返回其索引，否则返回 -1

class Solution {
    public int binarySearch(int[] nums, int target) {

        //定义每次遍历的左右端点
        int left = 0;
        int right = nums.length - 1;

        //开始遍历
        while(left <= right){
            //定义中值, 它是判断截取数组前半段还是半段的依据
            int mid = left + (right - left)/2;

            if(nums[mid] == target){
                return mid;
            }else if(nums[mid] > target){
                //截取前半段
                right = mid - 1;
            }else if(nums[mid] < target){
                //截取后半段
                left = mid + 1;
            }
        }

        return -1;
    }

循环条件: left <= right
中间位置计算: mid = left + ((right - left)) >> 1 (位移 >>1 就是除法运算 /2, 比除法效率稍高一些)
左边界更新: left = mid + 1
右边界更新: right = mid - 1
返回值: mid 或 -1

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为什么推荐使用左闭右闭解二分查找的题目

3.2 模板二: 二分查找边界(左边界, 右边界, 或是左右边界)

整这种一套一个模板的真的浪费精力, 直接一招鲜吧:

laxi的一篇文章

对于二分查找类的问题, 我们统一使用:

//左右边界
int left = 0;
int right = nums.length - 1;

//循环条件
while(left <= right){
    int mid = left + (right - left) >> 1;
    //边界更新方法根据题目要求
    ...
}

3.2.1 对于二分法查找左边界的模板

public int bsLeft(int[] nums, int target){

	int left = 0;
	int right = nums.length -1;

	while(lef <= right){
		int mid = left + ((right - left)  >> 1);  // >>1 是位运算符, 相当于 /2, 性能比 /2 稍快
		if(nums[mid] < target){
			left = mid + 1;
		}else if (nums[mid] > target){
			right = mid - 1;
		}else if(nums[mid] == target) {
			//由于是查找左边界, 所以查找到于target相等的元素时, 仍需要向左移动
			right = mid - 1; // 持续向左 缩短右边界
		}	
	}

	//left 越界判断,,根据具体题目判断. (target > nums所有
	if(left >= nums.length || nums[left] != target){
		//根据具体题目判断.
	}
}

3.2.1 对于二分法查找右边界的模板

public int bsLeft(int[] nums, int target){

	int left = 0;
	int right = nums.length -1;

	while(lef <= right){
		int mid = left + ((right - left)  >> 1);  // >>1 是位运算符, 相当于 /2, 性能比 /2 稍快
		if(nums[mid] < target){
			left = mid + 1;
		}else if (nums[mid] > target){
			right = mid - 1;
		}else if(nums[mid] == target) {
			//由于是查找右边界, 所以查找到于target相等的元素时, 仍需要向右
			left = mid + 1; // 持续向右 缩短左边界
		}	
	}

	// right 越界判断,,根据具体题目判断.
	if(left >= nums.length || nums[left] != target){
		//根据具体题目判断.
	}
}