红黑树-RBTree
红黑树是平衡二叉查找树的一种。为了深入理解红黑树,我们需要从二叉查找树开始讲起。
BST
二叉查找树(Binary Search Tree,简称BST)是一棵二叉树,它的左子节点的值比父节点的值要小,右节点的值要比父节点的值大。它的高度决定了它的查找效率。
在理想的情况下,二叉查找树增删查改的时间复杂度为O(logN)(其中N为节点数),最坏的情况下为O(N)。
BST存在倾斜的问题
平衡的BST:
倾斜的BST:
public class BstTest {
static class Node {
public String content;
public Node parent;
public Node left;
public Node right;
public Node(String content) {
this.content = content;
}
}
public Node root;
// BST的查找操作
public Node search (String content) {
Node r = root;
while (r != null) {
if (r.content.equals(content)) {
return r;
} else if (content.compareTo(r.content) > 1) {
r = r.right;
} else if (content.compareTo(r.content) <= 1) {
r = r.left;
}
}
return null;
}
// BST的插入操作
public void insert (String content) {
Node newNode = new Node(content);
Node r = root;
Node parent = null;
if (r == null) {
root = newNode;
return;
}
while (r != null) {
parent = r;
if (newNode.content.compareTo(r.content) > 1) {
r = r.right;
} else if (newNode.content.compareTo(r.content) < 1){
r = r.left;
} else {
r = r.left;
}
}
if (parent.content.compareTo(newNode.content) > 1) {
parent.left = newNode;
newNode.parent = parent;
} else {
parent.right = newNode;
newNode.parent = parent;
}
}
}
红黑树-RBTree
基于BST存在的问题,一种新的树——平衡二叉查找树(Balanced BST)产生了。平衡树在插入和删除的时候,会通过旋转操作将高度保持在logN。其中两款具有代表性的平衡树分别为AVL树和红黑树。AVL树由于实现比较复杂,而且插入和删除性能差,在实际环境下的应用不如红黑树。
红黑树(Red-Black Tree,以下简称RBTree)的实际应用非常广泛,比如Linux内核中的完全公平调度器、高精度计时器、ext3文件系统等等,各种语言的函数库如Java的TreeMap和TreeSet,C++ STL的map、multimap、multiset等。
RBTree也是函数式语言中最常用的持久数据结构之一,在计算几何中也有重要作用。值得一提的是,Java 8中HashMap的实现也因为用RBTree取代链表,性能有所提升。
《算法导论》中对于红黑树的定义如下:
- 每个结点或是红的,或是黑的
- 根节点是黑的
- 每个叶结点是黑的
- 如果一个结点是红的,则它的两个儿子都是黑的
- 对每个结点,从该结点到其子孙节点的所有路径上包含相同数目的黑结点
对与第4点,网上有些定义是:父子节点之间不能出现两个连续的红节点,这种定义和《算法导论》中定义的效果是一样的
RBTree在理论上还是一棵BST树,但是它在对BST的插入和删除操作时会维持树的平衡,即保证树的高度在[logN,logN+1](理论上,极端的情况下可以出现RBTree的高度达到2*logN,但实际上很难遇到)。这样RBTree的查找时间复杂度始终保持在O(logN)从而接近于理想的BST。RBTree的删除和插入操作的时间复杂度也是O(logN)。RBTree的查找操作就是BST的查找操作。
插入数据
向红黑树中插入新的结点。具体做法是,将新结点的 color 赋为红色,然后以BST的插入方法插入到红黑树中去。之所以将新插入的结点的颜色赋为红色,是因为:如果设为黑色,就会导致根到叶子的路径上有一条路上,多一个额外的黑结点,这个是很难调整的。但是设为红色结点后,可能会导致出现两个连续红色结点的冲突,那么可以通过颜色调换和树旋转来调整,这样简单多了。
接下来,讨论一下插入以后,红黑树的情况。设要插入的结点为N,其父结点为P,其 祖父结点为G,其父亲的兄弟结点为U(即P和U 是同一个结点的两个子结点)。如果P是黑色的,则整棵树不必调整就已经满足了红黑树的所有性质。如果P是红色的(可知,其父结点G一定是黑色的),则插入N后,违背了红色结点只能有黑色孩子的性质,需要进行调整。
处理方式是:将P和U修改为黑色,G修改为红色。
现在新结点N有了一个黑色的父结点P,因为通过父结点P或叔父结点U的任何路径都必定通过祖父结点G,在这些路径上的黑结点数目没有改变。
但是,红色的祖父结点G的父结点也有可能是红色的,这就违反了性质3。为了解决这个问题,我们从祖父结点G开始递归向上调整颜色。如图2
2、新结点N的叔叔结点U是黑色的,且N是左孩子。
处理方式:对祖父结点G进行一次右旋转
在旋转后产生的树中,以前的父结点P现在是新结点N和以前的祖父节点G的父结点,然后交换以前的父结点P和祖父结点G的颜色,结果仍满足红黑树性质。
如图 2.15。在(b)中,虚线代表原来的指针,实线代表旋转过后的指针。
所谓旋转就是改变图中所示的两个指针的值即可。当然,在实际应用中,还有父指针p也需要修改,这里为了图示的简洁而省略掉了。
3、新结点N的叔叔结点U是黑色的,且N是右孩子。
处理方式:对P进行一次左旋转,就把问题转化成了第二种情况。如图 2.16所示。
红黑树插入数据的代码与二叉查找树是相同的,只是在插入以后,会对不满足红黑树性质的结点进行调整。
注:此片文章是转载了图灵学院-周瑜老师的课程笔记,如有需求请移步图灵。