正交投影、格拉姆施密特正交(一)

数学基础弱，我真是个渣渣
下面来整理一下2021.10.19学到的知识

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一、正交投影
我们在初中就应该学过投影，那么什么是投影呢？形象点说，就是将你需要投影的东西上的每一点向你要投影的平面作垂线，垂线与平面的交点的集合就是你的投影。注意这里我们的投影是向量的投影，几何的投影(并不一定是垂直投影的)可见度娘百科。同样的，我们从简单的二维投影来开始讨论。

1、二维投影

上图表示的是，向量b在向量a上的投影。显然有如下表达式：

其中，P为投影矩阵，由P的表达式可以看出，它具有如下性质：

2、三维投影

三维投影，就是将一个向量投影到一个平面上。同上面一样，假设是将b向量投影到平面上的p向量，则有表达式：

e是垂直与平面的向量。由于p向量在平面上，则p向量可以由该平面的2个线性无关向量(正如，在xy平面的任何向量都可以由x轴，y轴表示)表示：

由于e垂直平面，则e向量垂直与平面中的任意向量，则有：

将上式化简求得x：

又因为p=Ax，Pb=p，则得到投影矩阵为：

由P的表达式可以看出，它具有如下性质：

上面的投影矩阵是通式，当投影在一维情况时，A即为直线上的任意一个向量a,投影矩阵为：

注意：一个数值的逆是它的倒数。

3、举例说明

下面以一个实例来说明：

如上图，假设我们要将向量b投影到水平面上，其投影为p，a1,a2为水平面的两个线性无关向量，它们的参数分别为：

那么A=[a1 a2]即：

由上面我们求得的通式，可得投影矩阵P:

知道投影矩阵P后，我们可以得到b在水平面上的投影p为：

显然，p与我们图中所示的结果相同。这里我们是以三维情况进行举例的，更高维情况，我们无法用图像来描述，但是通式也是成立的。
三维图的matlab程序如下：

clear all
clc
 
a1=[1 0 0];
a2=[0 1 0];
b=[1 1 1];
p=[1 1 0];
e=b-p;
quiver3(0,0,0,a1(1),a1(2),a1(3),1,'color','r')
hold on
quiver3(0,0,0,a2(1),a2(2),a2(3),1,'color','r')
hold on
quiver3(0,0,0,b(1),b(2),b(3),1,'color','g')
hold on
quiver3(0,0,0,p(1),p(2),p(3),1,'color','g')
hold on
quiver3(p(1),p(2),p(3),e(1),e(2),e(3),1,'color','b')