【转】傅里叶分析中几个容易混淆的概念

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傅里叶分析可以说是信号处理最重要的基石之一。但傅里叶级数、傅里叶变换、离散时间傅里叶变换、离散傅里叶变换等几个有点像又有点不像的概念，不仅经常搞得初学者晕头转向，有时候让老手也有点糊涂。

        在开篇之前，先简要介绍一下傅里叶分析有关的八卦旧闻。早在19世纪初，法国数学家、物理学家傅里叶在研究热传导问题的时候，就提出周期信号可以分解为许多个正弦函数的叠加。1807年，他把这个想法写成一篇论文投给了法兰西科学院。当时负责这篇文章审稿的有两位世界著名的法国数学家：拉普拉斯和拉格朗日。审稿的结果是拉普拉斯认为可以发表，拉格朗日认为不连续的信号如方波信号不能用三角函数分解。法国科学院慑于拉格朗日的威名，最后拒绝了这篇论文。由于随后傅里叶先是忙于政治活动，后来又随拿破仑远征埃及，在法国大革命后又设法免遭上断头台之苦，傅里叶根本无暇顾及这篇论文。在论文被拒绝15年之后，法兰西科学院又刊出了这篇论文，因为当时不同意论文发表的拉格朗日去世了。正是这篇论文，奠定了傅里叶分析在信号处理历史上的地位。

1、  傅里叶级数

        在高等数学中就已经知道，在满足一定的条件下，任何一个周期信号都可以分解为正弦信号的叠加。在高等数学中，这种分解就叫傅里叶级数。在信号处理学习的最初阶段，也是从这个概念出发，开始输入到信号处理的傅里叶世界。在信号处理中，周期连续信号的傅里叶分析称为傅里叶级数。此时，在傅里叶分析之前，信号是周期，连续的，在之后，结果是离散的。

2、  傅里叶变换

        对于连续信号，如果信号不是周期的，其傅里叶分析结果又是如何呢？非周期信号可以等效为周期为无穷大的周期信号。于是，由傅里叶级数出发，利用极限的有关概念，可以推导出非周期信号的傅里叶分析结果，这就是傅里叶变换。再啰嗦一句，非周期连续信号的傅里叶分析称为傅里叶变换。在傅里叶分析之前，信号是非周期的，连续的，在之后，结果也是连续的。

3、  离散时间傅里叶变换

        傅里叶级数和傅里叶变换都是针对连续信号而言的，那么对于数字信号而言，是否有对应的傅里叶分析呢？答案是肯定的，这就是离散时间傅里叶变换（DTFT）和离散傅里叶变换（DFT）。

       对非周期离散信号的傅里叶分析称为离散时间傅里叶变换。在傅里叶分析之前，信号是非周期的，离散的，在之后，结果是连续的。

4、  离散傅里叶变换

        对周期离散信号的傅里叶分析称为离散傅里叶变换。在傅里叶分析之前，信号是周期的，离散的，在之后，结果是离散的。如果按照前面三种分析的命名，离散傅里叶变换叫离散傅里叶级数似乎更为妥当。但由于历史的原因，大家习惯把这种傅里叶分析称为离散傅里叶变换。当然，关于DFT是否隐含着信号周期性的问题，也有一些争论。有的认为进行DFT分析就意味着默认离散信号是周期的，有的则认为离散信号不一定要看成是周期的。此处采取默认离散信号周期性的说法，主要是基于如下理由：如果把DFT看做是对DTFT结果在频域的采样的话，那么根据信号系统的有关理论可知，频域的采样等效于时域的周期延拓，这样，离散信号自然变成周期的了。在实际分析中，将DFT看做是对DTFT结果在频域的采样是合乎情理的。

        这上面的四个与傅里叶分析有关的概念，最重要的是DFT。因为前面三种分析都需要假定信号的时域及频域都是无限长的。从概念上讲，虽然DFT也需要时域频域无限长，但由于时域频域都是周期的，因此只需要一个周期的信息即可。另外，由于计算机等数字设备只能处理数字信号，也即是要求无论是时域还是频域，都要是离散的。因此，DFT在实践中占有最重要的地位。傅里叶级数，傅里叶变换，离散时间傅里叶变换这三个概念则更多的用于理论分析中。