前缀、中缀、后缀表达式以及简单计算器的C++实现
前缀表达式（波兰表达式）、中缀表达式、后缀表达式（逆波兰表达式）
介绍
三种表达式都是四则运算的表达方式,用以四则运算表达式求值，即数学表达式的求解。
前缀表达式
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前缀表达式是一种没有括号的算术表达式，与中缀表达式不同的是，其将运算符写在前面，操作数写在后面。为纪念其发明者波兰数学家Jan Lukasiewicz，前缀表达式也称为“波兰式”。例如，- 1 + 2 3，它等价于1-(2+3)。
中缀表达式
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中缀表达式就是一般的算数表达式，操作符以中缀形式出现在操作数之间。
后缀表达式
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后缀表达式指的是不包含括号，运算符放在两个运算对象的后面，所有的计算按运算符出现的顺序，严格从左向右进行（不再考虑运算符的优先规则）。
中缀表达式转前缀表达式
例如：对于中缀表达式(3+4)×5-6，其前缀表达式为- × + 3 4 5 6。前后缀表达式与中缀之间的转换关系，不在此赘述，在Seraphjin的博客中，通过二叉树的方式，很好地解释了这一内容。
除了该博客中所说的二叉树法，还可以通过栈方法，来实现二者的转换，具体步骤如下：
- 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
- 从右至左扫描中缀表达式；
- 遇到操作数时，将其压入S2；
- 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
- 如果S1为空，或栈顶运算符为右括号“)”，则直接将此运算符入栈；
- 否则，若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入S1；
- 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再与S1中新的栈顶运算符相比较；
- 遇到括号时：
- 如果是右括号“)”，则直接压入S1；
- 如果是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃；
- 重复上述步骤，直到表达式的最左边；
- 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
- 依次弹出S2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。
前缀表达式的计算机求解
利用计算器对前缀表达式求解其算数值时，采用从左到右扫描的方法，遇到操作数，则将其入栈，遇到操作符，则从栈中弹出两个操作数，由于前缀操作符位于数字之前，因此，第二个弹出的操作数为被操作数。然后对两个操作数根据操作符做相应的操作。
- 从右至左扫描，将6、5、4、3压入堆栈
- 遇到+运算符，因此弹出3和4（3为栈顶元素，4为次顶元素，注意与后缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈
- 接下来是×运算符，因此弹出7和5，计算出7×5=35，将35入栈
- 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果
中缀表达式转后缀表达式
表达式的转换，有二叉树法和栈方法，二叉树法不在此追述，详情见上文链接。
栈方法将中缀表达式转后缀表达式的方法如下所示：
- 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
- 从左至右扫描中缀表达式；
- 遇到操作数时，将其压入S2；
- 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
- 如果S1为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈；
- 否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入S1（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同，而这里则不包括相同的情况）；
- 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再与S1中新的栈顶运算符相比较；
- 遇到括号时：
- 如果是左括号“(”，则直接压入S1；
- 如果是右括号“)”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃；
- 重复上述步骤，直到表达式的最右边；
- 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
- 依次弹出S2中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不 用逆序）。
后缀表达式在算数逻辑运算中的作用，以及简单计算器的C++实现
由上述内容可知，利用前缀或者后缀表达式，可以很好的利用计算器，解决日常中缀表达式的求解，在此基础上，给出，无括号情况下，简单计算器的实现。
.h文件代码
1 #ifndef _C_H_ 2 #define _C_H_ 3 #include<iostream> 4 #include<string> 5 #include<algorithm> 6 #include<stdio.h> 7 #include<map> 8 #include<queue> 9 #include<stack> 10 #include<cstdio> 11 #endif
.cpp
文件代码
1 #include "C.h" 2 3 using namespace std; 4 5 struct node{ 6 double num; //操作符 7 char op; //操作数 8 bool flag; //数符判定 9 10 }; 11 12 string str; //输入字符串 13 stack<node> s; //操作符栈 14 queue<node> q; //操作数队列 15 map<char, int>op; //操作符优先级 16 17 void Change(); //中缀表达式转后缀表达式 18 double Cal(); //计算表达式的值 19 20 int main(){ 21 op['*'] = op['/'] = 2; 22 op['+'] = op['-'] = 1; 23 while(getline(cin, str), str!="0"){ 24 for(string::iterator it = str.end();it!=str.begin();it--){ 25 if(*it == ' '){ 26 str.erase(it); //擦除表达式中的空格 27 } 28 } 29 while(!s.empty()){ 30 s.pop(); //初始化栈 31 } 32 Change(); //中缀表达式转换为后缀表达式 33 double rs = Cal(); 34 printf("%.2f\n", rs); 35 } 36 37 return 0; 38 } 39 40 //中缀表达式转后缀表达式 41 void Change(){ 42 node temp; 43 for(unsigned int i=0;i<str.length();){ 44 if(str[i]>='0'&&str[i]<='9'){ //为操作数 45 temp.flag = true; 46 temp.num = str[i++] - '0'; //记录该操作数的最高位 47 while(i<str.length() && str[i]>='0' && str[i]<='9'){//记录该操作数的后续几位 48 temp.num = temp.num * 10 + (str[i] - '0'); //更新操作数 49 i++; 50 } 51 q.push(temp); 52 } 53 else{//为操作符 54 temp.flag = false; 55 while(!s.empty()&&op[str[i]]<=op[s.top().op]){ 56 q.push(s.top()); 57 s.pop(); 58 } 59 temp.op = str[i]; 60 s.push(temp); 61 i++; 62 } 63 } 64 while(!s.empty()){//操作符栈非空，则直接入后缀表达式队列 65 q.push(s.top()); 66 s.pop(); 67 } 68 } 69 70 double Cal(){ 71 double temp1, temp2; 72 node cur, temp; 73 while(!q.empty()){ 74 cur = q.front(); 75 q.pop(); 76 if(cur.flag){ 77 s.push(cur); 78 } 79 else{ 80 temp.flag = true; //暂存计算数据 81 temp2 = s.top().num; //取第2操作数 82 s.pop(); 83 temp1 = s.top().num; //取第1操作数 84 s.pop(); 85 if(cur.op=='+'){ 86 temp.num = temp1 + temp2; 87 } 88 else if(cur.op=='-'){ 89 temp.num = temp1 - temp2; //后缀表达式，操作符在原表达式中位于操作数2和操作数1之间 90 } 91 else if(cur.op=='*'){ 92 temp.num = temp1 * temp2; 93 } 94 else{ 95 temp.num = temp1 / temp2; 96 } 97 s.push(temp); 98 } 99 } 100 return s.top().num; 101 }
有括号输入表达式下，计算器的实现：
1 #include "C.h" 2 3 using namespace std; 4 5 struct node{ 6 double num; //操作数 7 char op; //操作符 8 bool flag; //数符定界，若真则为操作数，反之为操作符 9 }; 10 11 string str; //输入字符串 12 map<char, int> m; //操作符优先级 13 queue<node> q; //操作数队列 14 stack<node> s; //操作符栈 15 16 17 void Change(){ 18 /* 19 *中缀表达式转后缀表达式 20 */ 21 node temp; 22 for(unsigned int i=0;i<str.length();){ 23 if(str[i]>='0'&&str[i]<='9'){//字符为操作数 24 temp.flag = true; 25 temp.num = str[i++] - '0'; //记录该操作数 26 while(i<str.length()&&str[i]>='0'&&str[i]<='9'){ //记录该操作数的后续几位 27 temp.num = temp.num * 10 + (str[i] - '0'); 28 i++; 29 } 30 q.push(temp); 31 } 32 else if(str[i]=='+'||str[i]=='-'||str[i]=='/'||str[i]=='*'||str[i]=='('){ 33 temp.flag = false; 34 if(!s.empty()&&s.top().op=='('){//判断操作符栈栈顶是否为左括号 35 temp.op = str[i]; 36 s.push(temp); 37 } 38 else{ 39 while(!s.empty()&&m[str[i]]<=m[s.top().op]){ 40 q.push(s.top()); 41 s.pop(); 42 } 43 temp.op = str[i]; 44 s.push(temp); 45 } 46 i++; 47 } 48 else{ 49 while(!s.empty()&&s.top().op!='('){ 50 q.push(s.top()); 51 s.pop(); 52 } 53 s.pop(); 54 i++; 55 } 56 } 57 while(!s.empty()){ 58 q.push(s.top()); 59 s.pop(); 60 } 61 } 62 63 double Cal(){ 64 node cur, temp; 65 double temp1, temp2; 66 while(!q.empty()){ 67 cur = q.front(); 68 q.pop(); 69 if(cur.flag){ 70 s.push(cur); 71 } 72 else{ 73 temp2 = s.top().num; 74 s.pop(); 75 temp1 = s.top().num; 76 s.pop(); 77 if(cur.op=='*'){ 78 temp.num = temp1 * temp2; 79 } 80 else if(cur.op=='+'){ 81 temp.num = temp1 + temp2; 82 } 83 else if(cur.op=='-'){ 84 temp.num = temp1 - temp2; 85 } 86 else{ 87 temp.num = temp1 / temp2; 88 } 89 s.push(temp); 90 } 91 } 92 return s.top().num; 93 } 94 95 int main(){ 96 m['('] = m[')'] = 3; 97 m['*'] = m['/'] = 2; 98 m['+'] = m['-'] = 1; 99 100 while(getline(cin, str), str!="0"){ 101 for(string::iterator it=str.end();it!=str.begin();it--){ 102 if(*it==' '){ 103 str.erase(it); 104 } 105 } 106 cout<<str<<endl; 107 while(!s.empty()){ 108 s.pop(); 109 } 110 Change(); 111 printf("%.2f\n", Cal()); 112 } 113 114 return 0; 115 }
