向量点乘的推导

前提知识：

一个\(\vec{a}\)如下图所示：

\(\vec{a} = \left[ \begin{matrix} x_a\\ y_b\\ \end{matrix} \right]\), \(\vec{b} = \left[ \begin{matrix} x_c\\ y_d\\ \end{matrix} \right]\)

\(||\vec{a}||\)表示\(\vec{a}\)的长度，\(||\vec{b}||\)表示\(\vec{b}\)的长度。

\(||\vec{a}|| = \sqrt{x_a^2 + y_b^2}，||\vec{b}|| = \sqrt{x_c^2 + y_d^2}\)

点乘的计算公式：

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = ||\vec{a}|| ||\vec{b}|| cos\theta = x_ax_c+y_by_d\)

\(\theta\)角为\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角

推导：\(||\vec{a}|| ||\vec{b}|| cos\theta = x_ax_c+y_by_d\)

1. 由上图可知，\(\theta = \beta - \alpha\)
2. 所以，\(cos\theta = cos(\beta - \alpha)\)
3. 由三角函数公式可知:\(cos\theta = cos\beta cos\alpha + sin\alpha sin\beta\)
4. 观察上图后可知，\(cos\beta = {x_a\over||\vec{a}||}\)，\(sin\beta = {y_b\over||\vec{a}||}\)，\(cos\alpha = {x_c\over||\vec{b}||}\)，\(sin\alpha = {y_d\over||\vec{b}||}\)
5. 所以,\(cos\theta = {x_ax_c+y_by_d \over ||\vec{a}|| ||\vec{b}||}\)
6. 所以，\(||\vec{a}|| ||\vec{b}|| cos\theta = x_ax_c+y_by_d\)