WPF 基础 2D 图形学知识 判断点是否在线段上
在知道一个使用两个点表示的线段，和另一个点，求另一个点是否在线段上
本文算法属于通用的算法，可以在 WPF 和 UWP 和 Xamarin 等上运行，基本上所有的 .NET 平台都能执行
如下图，如果点在线段上，那么修改线段颜色
假定有线段的定义如下
public record Line
{
public Point APoint { get; init; }
public Point BPoint { get; init; }
}
以上代码使用了 .NET 5 加 C# 9.0 的新语法
在传入一个点，求这个点是否在线段上，最简单理解的算法是根据两点之间直线距离最短，只需要求 P 点和线段的 AB 两点的距离是否等于 AB 的距离。如果相等，那么证明 P 点在线段 AB 上，代码如下
private static bool CheckIsPointOnLine(Point point, Line line, double epsilon = 0.1)
{
// 最简单理解的算法是根据两点之间直线距离最短，只需要求 P 点和线段的 AB 两点的距离是否等于 AB 的距离。如果相等，那么证明 P 点在线段 AB 上
var ap = point - line.APoint;
var bp = point - line.BPoint;
var ab = line.BPoint - line.APoint;
// 只不过求 Length 内部需要用到一次 Math.Sqrt 性能会比较差
if (Math.Abs(ap.Length + bp.Length - ab.Length) < epsilon)
{
return true;
}
else
{
return false;
}
}
不使用 Vector 类，可以替换为如下计算方法。上面代码的 ap 等变量是使用 WPF 的两个点的相减能拿到 Vectore 类，而在 Vectore 类里面有 Length 属性而优化代码的。其实核心计算和下面代码相同。下面代码是 Tone Škoda 提供的，详细请看 https://stackoverflow.com/a/56850069/6116637
public static double CalcDistanceBetween2Points(double x1, double y1, double x2, double y2)
{
return Math.Sqrt(Math.Pow (x1 - x2, 2) + Math.Pow (y1 - y2, 2));
}
public static bool PointLinesOnLine (double x, double y, double x1, double y1, double x2, double y2, double allowedDistanceDifference)
{
double dist1 = CalcDistanceBetween2Points(x, y, x1, y1);
double dist2 = CalcDistanceBetween2Points(x, y, x2, y2);
double dist3 = CalcDistanceBetween2Points(x1, y1, x2, y2);
return Math.Abs(dist3 - (dist1 + dist2)) <= allowedDistanceDifference;
}
以下是另一个方法，以下方法性能比上面一个好
根据点和任意线段端点连接的线段和当前线段斜率相同，同时点在两个端点中间，就可以认为点在线段内
(x - x1) / (x2 - x1) = (y - y1) / (y2 - y1)
因为乘法性能更高，因此计算方法可以如下
(x - x1) * (y2 - y1) = (y - y1) * (x2 - x1)
(x - x1) * (y2 - y1) - (y - y1) * (x2 - x1) = 0
但是乘法的误差很大，因此还是继续使用除法
另外，需要判断点在两个端点中间
x1 < x < x2, assuming x1 < x2
y1 < y < y2, assuming y1 < y2
以下是代码
if (EqualPoint(point, line.APoint, epsilon) || EqualPoint(point, line.BPoint, epsilon))
{
return true;
}
// 乘法性能更高，误差大。请试试在返回 true 的时候，看看 crossProduct 的值，可以发现这个值依然很大
var crossProduct = (point.X - line.APoint.X) * (line.BPoint.Y - line.APoint.Y) -
(point.Y - line.APoint.Y) * (line.BPoint.X - line.APoint.X);
if (Math.Abs((point.X - line.APoint.X) / (line.BPoint.X - line.APoint.X) - (point.Y - line.APoint.Y) / (line.BPoint.Y - line.APoint.Y)) < epsilon)
{
var minX = Math.Min(line.APoint.X, line.BPoint.X);
var maxX = Math.Max(line.APoint.X, line.BPoint.X);
var minY = Math.Min(line.APoint.Y, line.BPoint.Y);
var maxY = Math.Max(line.APoint.Y, line.BPoint.Y);
if (minX < point.X && point.X < maxX && minY < point.Y && point.Y < maxY)
{
return true;
}
else
{
return false;
}
}
else
{
return false;
}
上面代码的 crossProduct 是不用使用的，只是为了告诉大家，尽管乘法性能比较好，但是误差比较大
当然以上算法有漏洞，在于如果 A 和 B 两个点的 Y 坐标相同或 X 坐标相同的时候，那么以上算法不适合。可以先判断 crossProduct 的值，如果是等于零，那么证明有 A 和 B 两个点的 Y 坐标相同或 X 坐标相同
var crossProduct = (point.X - line.APoint.X) * (line.BPoint.Y - line.APoint.Y) -
(point.Y - line.APoint.Y) * (line.BPoint.X - line.APoint.X);
// 先判断 crossProduct 是否等于 0 可以解决 A 和 B 两个点的 Y 坐标相同或 X 坐标相同的时候，使用除法的坑
if (crossProduct == 0 || Math.Abs((point.X - line.APoint.X) / (line.BPoint.X - line.APoint.X) - (point.Y - line.APoint.Y) / (line.BPoint.Y - line.APoint.Y)) < epsilon)
{
var minX = Math.Min(line.APoint.X, line.BPoint.X);
var maxX = Math.Max(line.APoint.X, line.BPoint.X);
var minY = Math.Min(line.APoint.Y, line.BPoint.Y);
var maxY = Math.Max(line.APoint.Y, line.BPoint.Y);
if (minX <= point.X && point.X <= maxX && minY <= point.Y && point.Y <= maxY)
{
return true;
}
else
{
return false;
}
}
else
{
return false;
}
以上方法的计算有些重复，其实加上了 crossProduct 只是为了水平和垂直的线段，其实可以做特殊处理，如下面代码
public static class Math2DExtensions
{
public static bool CheckIsPointOnLineSegment(Point point, Line line, double epsilon = 0.1)
{
// 以下是另一个方法，以下方法性能比上面一个好
// 根据点和任意线段端点连接的线段和当前线段斜率相同，同时点在两个端点中间
// (x - x1) / (x2 - x1) = (y - y1) / (y2 - y1)
// x1 < x < x2, assuming x1 < x2
// y1 < y < y2, assuming y1 < y2
// 但是需要额外处理 X1 == X2 和 Y1 == Y2 的计算
var minX = Math.Min(line.APoint.X, line.BPoint.X);
var maxX = Math.Max(line.APoint.X, line.BPoint.X);
var minY = Math.Min(line.APoint.Y, line.BPoint.Y);
var maxY = Math.Max(line.APoint.Y, line.BPoint.Y);
if (!(minX <= point.X) || !(point.X <= maxX) || !(minY <= point.Y) || !(point.Y <= maxY))
{
return false;
}
// 以下处理水平和垂直线段
if (Math.Abs(line.APoint.X - line.BPoint.X) < epsilon)
{
// 如果 X 坐标是相同，那么只需要判断点的 X 坐标是否相同
// 因为在上面代码已经判断了 点的 Y 坐标是在线段两个点之内
return Math.Abs(line.APoint.X - point.X) < epsilon || Math.Abs(line.BPoint.X - point.X) < epsilon;
}
if (Math.Abs(line.APoint.Y - line.BPoint.Y) < epsilon)
{
return Math.Abs(line.APoint.Y - point.Y) < epsilon || Math.Abs(line.BPoint.Y - point.Y) < epsilon;
}
if (Math.Abs((point.X - line.APoint.X) / (line.BPoint.X - line.APoint.X) - (point.Y - line.APoint.Y) / (line.BPoint.Y - line.APoint.Y)) < epsilon)
{
return true;
}
else
{
return false;
}
}
}
public record Line
{
public Point APoint { get; init; }
public Point BPoint { get; init; }
}
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