牛顿下山法

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因牛顿迭代法受初值选取的限制，为防止迭代发散，对迭代过程再附加一项要求:|f(x(k+1))|<|f(x(k))|,将牛顿法迭代的结果:x(k+1)'=x(k)-f(x(k))/f'(x(k))和前一近似值x(k)适当加权平均做为新的改进值:x(k+1)=\lambda*x(k+1)'+(1-\lambda)*x(k), 其中0<=\lambda<=1.

% Newton.m
function [x1,n]=Newton(f,x0,emg1,emg2)
n=0;
u=1;
[f0,d0]=feval(f,x0);
x1=x0-f0/d0;
[f1,d1]=feval(f,x1);
while abs(x1-x0)>emg1 & abs(f1)>emg2
    while abs(f1)>=abs(f0)
        u=u/2;
        x1=x0-u*(f0/d0);
        [f1,d1]=feval(f,x1);
    end % 内层While 满足附加条件，以保证单调性
    n=n+1;
    x0=x1;
    [f1,d1]=feval(f,x1);
    x1=x1-f1/d1; 
end %外层while向前走一步

算例：

% f.m 定义函数及其导数
function [f,d]=f(x)
f=x^3-x-1;
d=3*x^2-1;

% 调用求解
clear
clc
[x,n]=Newton(@f,0.6,1e-4,1e-4);