两阶段单纯形法

两阶段单纯形法

线性规划问题基本定理

• 若一个问题提存在容许域，则其容许域为凸集
• 线性规划问题有容许解，则必有基本容许解
• 线性规划问题有最优解，则必有最优基本容许解
• 线性规划问题的基本容许解对应容许域的顶点
• 线性规划问题存在有限最优解，则其目标函数最优值一定可以在容许域顶点达到

单纯形法思路

根据问题的标准型，从容许域的一个基本容许解开始，转移的到另一个基本容许解并使目标函数逐步下降。当目标函数达到最小值时，问题得到最优解。

步骤

• 将问题模型化为线性规划标准型

  • 极大化目标函数：\(max z=C^TX\)
    令\(z^{'}=-z\)，将问题转换为\(min z^{'}=-C^TX\)
  • 约束条件为不等式
    若为\(\leq\)型，则“左端+松弛变量=右端”（松弛变量\(\geq 0\)）
    若为\(\geq\)型，则“左端-剩余变量=右端”（松弛变量\(\geq 0\)）
  • 存在无非负要求的\(x_k\)
    令\(x_k={x_k}^{'}-{x_k}^{''}，其中{x_k}^{'}\geq 0,{x_k}^{''}\geq 0\)带入目标函数及约束条件即可。
  • 变量\(x_j\)有上下界
    若\(x_j \geq u_j\),令\(x_j^{'}=x_j-u_j\)用\(x_j^{'}+u_j\)代替\(x_j\)
    若\(x_j \leq t_j\),令\(x_j^{'}=t_j-x_j\)用\(t_j-x_j^{'}\)代替\(x_j\)

• 将标准型通过人工变量化为典范形式，此时，约束方程系数矩阵中的m阶单位矩阵为初始容许基

• 进行基变换

  • 换入变量确认：
    • \(x_j为换入变量，则\sigma_k>0\)
  • 换出变量确认
    • \(x_r为换出变量，则{\,}\theta=\frac{b_r}{a_{ik}}=min\{{\frac{b_i}{a_{ik}}|a_{ik}>0}\}\)

两阶段单纯形法最优解判别

• 第一阶段

  • 对于某个基本容许解，所有判别数\(\sigma_j\leq 0\),则该基本容许解为最优解
  • 若w=0，则原问题有容许解；
  • 若w>0，则原问题无容许解，停止

• 第二阶段

  • 最优解判别定理：在极小化问题中，对于某个基本容许解，所有判别数\(\sigma_j\leq 0\),则该基本容许解为最优解。
  • 无穷多最优解判别定理：在极小化问题中，对于某个基本容许解，所有判别数\(\sigma_j\leq 0\)，又存在某个非基变量判别数\(\sigma_k=0\)，则原线性规划问题有无穷多最优解。
  • 解无界判别定理：若在极小化问题中，对于某个基本容许解，有一个非基变量判别数\(\sigma_k>0\),但\(p_k\)中没有正元素，则原线性规划问题解无界