常见的泰勒展开
常见的泰勒展开
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备注-常见的阶乘
\[\begin{align*}
0! &= 1 (人为定义)\\
1 &= 1!\\
2 \times 1 = 2 &= 2!\\
3 \times 2 \times 1 = 6 &= 3!\\
4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 &= 4!\\
5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 &= 5!\\
6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 &= 6!\\
7! &= 5040\\
8! &= 40320\\
9! &= 362880\\
10! &=3628800\\
\end{align*}
\]
【1】 ☆☆☆ e的x次方
\[e^x=1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!}+ {x^4 \over 4!} + o(x^4)
\]
【2】☆☆☆ sin x
\[\sin x=x-{x^3 \over 3!}+{x^5 \over 5!}-{x^7 \over 7!} + o(x^7)
\]
或者【更精确】
\[\sin x=x-{x^3 \over 3!}+{x^5 \over 5!}-{x^7 \over 7!} + o(x^8)
\]
【3】☆☆☆ 1-x 分之 1
\[{1\over 1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+ o(x^4)
\]
【4】 cos x
将 【2】 左右两边同时求导得：
\[\cos x = 1-{x^2 \over 2!}+{x^4 \over 4!}-{x^6 \over 6!} + o(x^6)
\]
或者【更精确】
\[\cos x = 1-{x^2 \over 2!}+{x^4 \over 4!}-{x^6 \over 6!} + o(x^7)
\]
【5】 1+x 分之 1
将 【3】 内的x 替换为 -x 得
\[{1\over 1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4+ ...
\]
【6】ln(1+x)
由于 $ (\ln(1+x))' = {1\over 1+x}$
将 【5】 求积分得
\[ \ln(1+x) = x - {x^2\over 2} + {x^3\over 3} - {x^4\over 4} + ...
\]
【7】1+x方 分之 1
将【5】内的 \(x\) 替换为 \(x^2\) 得:
\[
{1 \over 1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+x^8+...
\]
【8】arctan x
由于 \((\arctan x)' = {1 \over 1+x^2}\)
将【7】 求积分得
\[\arctan x =x-{x^3 \over 3}+{x^5 \over 5}-{x^7 \over 7} + {x^9 \over 9} +...
\]
【9】(单独) (1+x)的α次方
\[(1+x)^\alpha = 1+\alpha x + {\alpha(\alpha-1)\over 2!} \cdot x^2 + {\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\over 3!} \cdot x^3 +...
\]
【10】(单独) arcsin x
\[\arcsin x = x + {x^3 \over 6}+o(x^3)
\]
【11】(单独) tan x
\[\tan x = x + {x^3 \over 3}+o(x^3)
\]
来自 bilibili网 考研竞赛凯哥 （Av332067776）仅供学习参考。
