主定理计算递归式的复杂度

符号 Notation

渐进符号 Asymptotic Notation

渐进符号	非渐进符号	含义
\(f(n) = O(g(n))\)	\(f(n) \le cg(n)\)	g是f的上界
\(f(n) = o(g(n))\)	\(f(n) \lt cg(n)\)	g是f的严格上界
\(f(n) = \Omega(g(n))\)	\(f(n) \ge cg(n)\)	g是f的下界
\(f(n) = \omega(g(n))\)	\(f(n) \gt cg(n)\)	g是f的严格下界
\(f(n) = \Theta(g(n))\)	\(c_1g(n) \le f(n) \le c_2g(n)\)	g是f的确界

问题规范化

\[T(n) = aT(n/b) + f(n) \]

规模为n的问题，可分为a个规模为n/b的子问题，每个子问题可通过f(n)的事件解决。

主定理

主定理通过递归树导出，主要思想是：

比较\(n^{\log_ba}\)与\(f(n)\)的渐进大小关系，谁大谁决定复杂度\(T(n)。\)

第一种情况：\(n^{\log_ba} = \omega(f(n))\) ，\(T(n) = \Theta(n^{\log_b a})\)

例：\(T(n) = 9T(n/3) + n\)

\(n^{\log_ba} = n^{\log_39} = n^2 = \omega(n)\)

知 \(T(n) = \Theta(n^2)\)

第二种情况：\(n^{\log_b a} = o(f(n))\)，\(T(n) = \Theta(f(n))\)

应用该公式，还要必须满足：

存在实数c，且\(c \lt 1\)时，有\(af(n/b) \le cf(n)\)。

例：\(T(n) = 3T(n/4) + n\log_2n\)

\(n^{\log_ba} = n^{\log_43} \approx n^{0.792} = o(n\log_2n)\)

且由\(\frac 34n\log_2{\frac n4} \le cn\log_2n\)，可得\(\frac 34 \lt c \lt 1\)

知 \(T(n) = \Theta(n\log_2n)\)

第三种情况：\(n^{\log_b a} = \Theta(f(n))\)，\(T(n) = \Theta(n^{\log_ba}\log_2n)\)

例：\(T(n) = T(3n/4) + 1\)

\(n^{\log_ba} = n^{\log_{\frac 4 3} 1} = n^0 = \Theta(1)\)

知 \(T(n) = \Theta(\log_2n)\)

注意

主定理为未包含所有递归式情况，有以下情况不被包含：

• 不满足第二种情况情况中的附加条件。
• 非渐进关系可比，如

\[T(n) = 2T(n/2) + n\log_2n \]

\(n^{\log_ba} = n^{\log_22} = n \not = o(n\log_2n)\)