摘要：
1. 字符数组 字符数组，也就是存放字符类型数据的数组，只不过 字符数组的结尾必须是 '\0' 。C++ 已经提供了一些字符串处理函数，这些函数被封装在头文件 和 中。 1.1. 字符串复制 从 source 指针指向的内存拷贝 num 个字节到 destination 指针指向的内存；拷贝的是二进 阅读全文
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当 $A$ 是对称的时候，$Ax=\lambda x$ 有什么特殊的呢？ 1. 对称矩阵的分解 $$A = S\Lambda S^{ 1}$$ $$A^T = (S^{ 1})^T\Lambda S^{T}$$ 如果 $A$ 是对称矩阵，也就是 $A=A^T$。对比以上两个式子，我们可以得到 $S^ 阅读全文
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本节的核心是将常系数微分方程转化为线性代数问题。 $$\frac{du}{dt}=\lambda u \quad 的解为 \quad u(t) = Ce^{\lambda t}$$ 代入 $t=0$，可得 $u(0) = C$，因此有 $u(t) = u(0)e^{\lambda t}$。这是只有一 阅读全文
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利用特征向量的属性，矩阵 $A$ 可以变成一个对角化矩阵 $\Lambda$。 1. 对角化 假设一个 $n×n$ 的矩阵 $A$ 有 $n$ 个线性不相关的特征向量 $x_1,\cdots,x_n$ ，把它们作为特征向量矩阵 $S$ 的列，那么就有 $S^{ 1}AS=\Lambda$。 矩阵 $ 阅读全文
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线性方程 $Ax=b$ 是稳定状态的问题，特征值在动态问题中有着巨大的重要性。$du/dt=Au$ 的解随着时间增长、衰减或者震荡，是不能通过消元来求解的。接下来，我们进入线性代数一个新的部分，基于 $Ax=\lambda x$，我们要讨论的所有矩阵都是方阵。 1. 特征值和特征向量 几乎所有的向量 阅读全文
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1. 克拉默法则 这部分我们通过代数方法来求解 $Ax=b$。 用 $x$ 替换单位矩阵的第一列，然后再乘以 $A$，我们得到一个第一列为 $b$ 的矩阵，而其余列则是从矩阵 $A$ 中对应列直接拷贝过来的。 利用行列式的乘法法则，我们有 $$|A|(x_1)=|B_1|$$ 如果我们想要求 $x_ 阅读全文
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计算机通过主元来计算行列式，但还有另外两种方法，一种是大公式，由 $n!$ 项置换矩阵组成；另一种是代数余子式公式。 主元的乘积为 $2 \frac{3}{2} \frac{4}{3} \frac{5}{4} = 5$。 大公式有 $4!=24$ 项，但只有 5 个非零项。 $$det A = 16 阅读全文
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vector 是一种顺序容器，可以看作是可以改变大小的数组。 就像数组一样，vector 占用连续的内存地址来存储元素，因此可以像数组一样用偏移量来随机访问，但是它的大小可以动态改变，容器会自动处理内存分配问题。 在内部，vector 使用动态分配的数组来存储元素，当新元素插入时，如果现有的存储空间 阅读全文
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方阵的行列式是一个数字，这个数字包含了矩阵的大量信息。首先，它立即告诉了我们这个矩阵是否可逆。矩阵的行列式为零的话，矩阵就没有逆矩阵。当 $A$ 可逆的时候，其逆矩阵 $A^{ 1}$ 的行列式为 $1 / det(A)$。 行列式可以用来求逆矩阵、计算主元和求解方程组，但是我们很少这样做，因为消元 阅读全文
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这部分我们有两个目标。一是了解正交性是怎么让 $\hat x$ 、$p$ 、$P$ 的计算变得简单的，这种情况下，$A^TA$ 将会是一个对角矩阵。二是学会怎么从原始向量中构建出正交向量。 1. 标准正交基 向量 $q_1, \cdots, q_n$ 是标准正交的，如果它们满足如下条件： $$q_i 阅读全文