线性代数之——矩阵乘法和逆矩阵

1. 矩阵乘法

如果矩阵 $B$ 的列为 $b_1, b_2, b_3$，那么 $EB$ 的列就是 $Eb_1, Eb_2, Eb_3$。

$$\boldsymbol{EB = E[b_1 \quad b_2 \quad b_3] = [Eb_1 \quad Eb_2 \quad Eb_3]}$$

$$E\space(B 的第\space j \space列) =EB \space的第 \space j \space列$$

• 置换矩阵（permutation matrix）

在消元的过程中，如果遇到了某一行主元的位置为 0，而其下面一行对应的位置不为 0，我们就可以通过行交换来继续进行消元。

如下的矩阵 $P_{23}$ 可以实现将向量或者矩阵的第 2 、 3 行进行交换。

$$P_{23} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}$$

$$\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ \boldsymbol 3\\\boldsymbol 5\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ \boldsymbol 5\\\boldsymbol 3\end{bmatrix}$$

$$\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&4&1 \\ \boldsymbol0&\boldsymbol0&\boldsymbol3\\0&6&5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2&4&1 \\0&6&5 \\\boldsymbol0&\boldsymbol0&\boldsymbol3\end{bmatrix}$$

置换矩阵 $P_{ij}$ 就是将单位矩阵的第 $i$ 行和第 $j$ 行进行互换，当交换矩阵乘以另一个矩阵时，它的作用就是交换那个矩阵的第 $i$ 行和第 $j$ 行。

• 增广矩阵（augmented matrix）

在消元的过程中，方程两边的系数 $A$ 和 $b$ 都要进行同样的变换，这样，我们可以把 $b$ 作为矩阵 $A$ 的额外的一列，然后，就可以用消元矩阵 $E$ 乘以这个增广的矩阵一次性完成左右两边的变换。

$$E[A \space \boldsymbol b] = [EA \space E \boldsymbol b]$$

$$\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ -2&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&4&-2&\boldsymbol 2 \\ 4&9&-3&\boldsymbol 8 \\-2&-3&7&\boldsymbol 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2&4&-2&\boldsymbol 2 \\ 0&1&1&\boldsymbol 4 \\-2&-3&7&\boldsymbol 10 \end{bmatrix}$$

• 矩阵乘法的四种理解

如果矩阵 $A$ 有 $n$ 列， $B$ 有$n$ 行，那么我们可以进行矩阵乘法 $AB$。

假设矩阵 $A$ 有 $m$ 行 $n$ 列，矩阵 $B$ 有 $n$ 行 $p$ 列，那么 $AB$ 是 $m$ 行 $p$ 列的。

$$(m×n)(n×p)(m×p) \quad \begin{bmatrix} \boldsymbol{m \space 行} \\{n \space 列} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n \space 行 \\\boldsymbol{p \space 列} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \boldsymbol{m \space 行} \\\boldsymbol{p \space 列}\end{bmatrix}$$

矩阵乘法的第一种理解方式就是一个一个求取矩阵 $AB$ 位于 $(i, j)$ 处的元素

$$(AB)_{ij} = A \space 的第 \space i \space 行与\space B \space的第\space j \space 列的内积 = \sum a_{ik}b_{kj}$$

第二种理解，矩阵 $AB$ 的列是 $A$ 的列的线性组合

$${AB = A[b_1 \quad b_2 \cdots b_p] = [Ab_1 \quad Ab_2 \cdots Ab_p]}$$

第三种理解，矩阵 $AB$ 的行是 $B$ 的行的线性组合

$$AB = \begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\a_m\end{bmatrix}B = \begin{bmatrix}a_1 B \\ a_2B \\ \vdots \\a_m B\end{bmatrix}$$

第四种理解，矩阵 $AB$ 是所有 $A$ 的列与 $B$ 的行的乘积的和

$$AB = [a_1 \quad a_2 \cdots a_n] \begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\b_n\end{bmatrix} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i$$

其中，一列乘以一行称为外积（outer product），(n×1)(1×n)=(n, n)，结果为一个 n×n 的矩阵。

$$\begin{bmatrix}2&7 \\ 3&8 \\ 4&9\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&6 \\ 0&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 \\ 3 \\ 4\end{bmatrix}[1 \quad 6] + \begin{bmatrix}7 \\ 8 \\ 9\end{bmatrix}[0 \quad 0] = \begin{bmatrix}2&12 \\ 3&18 \\ 4&24\end{bmatrix}$$

• 矩阵乘法的性质

结合律：$\boldsymbol{A(BC) = (AB)C}$
交换律：$\boldsymbol{(A+B)C = AC+BC}$
交换律：$\boldsymbol{A(B+C) = AB+AC}$

$$A^p = \underbrace{AA\cdots A}_{\text{p 个}}$$

$$A^pA^q = A^{(p+q)}$$

$$(A^p)^q = A^{pq}$$

$$A^0=I$$

• 分块矩阵

矩阵还可以被划分为小块，其中每个小块都是一个更小的矩阵。

如果对矩阵 $A$ 的列的划分和对矩阵 $B$ 的行的划分正好匹配，那么每个块之间就可以进行矩阵乘法。

一种特殊的划分就是矩阵 $A$ 的每个小块都是 $A$ 的一列，矩阵 $B$ 的每个小块都是 $B$ 的一行，这种情况就是我们上面说的矩阵相乘的第四种理解。

同样地，在消元的时候，我们也可以按块对系数矩阵进行消元。

2. 矩阵的逆

假设 $A$ 是一个方阵，如果存在一个矩阵 $A^{-1}$，使得

$$A^{-1}A = I \quad 并且 \quad AA^{-1} = I$$

那么，矩阵 $A$ 就是可逆的，$A^{-1}$ 称为 $A$ 的逆矩阵。

逆矩阵的逆就是进行和原矩阵相反的操作。消元矩阵 $E_{21}$ 的作用是第二个方程减去第一个方程的 2 倍。

$$E_{21} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ -2&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$$

其逆矩阵 $E_{21}^{-1}$ 的作用则是第二个方程加上第一个方程的 2 倍。

$$E_{21}^{-1} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 2&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$$

• 当且仅当在消元过程中产生 $n$ 个主元的时候（允许行交换），矩阵 $A$ 的逆才存在。

• 矩阵 $A$ 不可能有两个不同的逆矩阵，左逆等于右逆。假设 $BA=I$， $AC=I$，那么一定有 $B=C$。

$$B(AC) = (BA)C \to BI = IC \to B=C$$

• 如果矩阵 $A$ 是可逆的，那么 $Ax=b$ 有唯一解 $x=A^{-1}b$。

• 如果存在一个非零向量 $x$ 使得 $Ax= \boldsymbol 0$，那么 $A$ 不可逆，因为没有矩阵可以将零向量变成一个非零向量。

$$若 \space A^{-1} \space 存在，则\space x = A^{-1} \boldsymbol 0 = \boldsymbol 0$$

• 一个 2×2 的矩阵是可逆的，当且仅当 $ad-bc$ 非零。

• 一个对角化矩阵如果其对角线上元素非零，那么其有逆矩阵。

如果矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 都是可逆的，那么它们的乘积 $AB$ 也是可逆的。

$$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$$

$$(AB)^{-1}AB = B^{-1}A^{-1}AB = B^{-1}IB = I$$

同样地，针对三个或更多矩阵的乘积，有

$$(ABC)^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1}$$

3. 高斯－若尔当消元法（Gauss-Jordan Elimination）求矩阵的逆

我们可以通过消元法来求解矩阵 $A$ 的逆矩阵。思路是这样的，假设 $A$ 是一个 3×3 的矩阵，那么我们可以建立三个方程来分别求出 $A^{-1}$ 的三列。

$$AA^{-1} = A[x_1 \quad x_2 \quad x_3] = [e_1 \quad e_2 \quad e_3]=\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$$

$$\begin{alignedat}{2} Ax_1 = e_1 \\ Ax_2 = e_2\\ Ax_3 = e_3 \end{alignedat}$$

而高斯－若尔当消元法则是一次性求解出这些方程，之前我们求解一个方程的时候，将 $b$ 作为 $A$ 的一列组成增广矩阵，而现在我们则是把 $e_1、e_2、e_3$ 三列一起放入 $A$ 中形成一个增广矩阵，然后进行消元。

到这里，我们已经得到了一个下三角矩阵 $U$，高斯就会停在这里然后用回带法求出方程的解，但若尔当将会继续进行消元，直到得到简化阶梯形式（reduced echelon form）。

最后，我们将每行都除以主元得到新的主元都为 1，此时，增广矩阵的前一半矩阵就是 $I$，而后一半矩阵就是 $A^{-1}$。

我们用分块矩阵就可以很容易地理解高斯－若尔当消元法，消元的过程就相当于乘以了一个 $A^{-1}$ 将 $A$ 变成了 $I$，将 $I$ 变成了 $A^{-1}$。

$$A^{-1}[A \quad I] = [I \quad A^{-1}]$$

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