线性代数之——向量简介

1. 二维向量

在二维平面中，一个二维向量可以用一个箭头来表示，这个箭头起始于原点，终点坐标 \((x, y)\) 分别为向量中的两个元素，而 \(c\boldsymbol{v}\) 与 \(d\boldsymbol{w}\) 的和则是向量 \(\boldsymbol{v}\) 和 \(\boldsymbol{w}\)的线性组合。

2. 三维向量

三维向量和二维向量类似，可以表示为三维平面中的一个箭头，只不过坐标变成了 \((x, y, z)\)。

针对三维向量 \(\boldsymbol{u}\)， \(\boldsymbol{v}\) 和 \(\boldsymbol{w}\)，有

• 所有 \(c\boldsymbol{u}\) 的组合会填满一条直线
• 所有 \(c\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{v}\) 的组合会填满一个平面，如果 \(\boldsymbol{u}\) 和 \(\boldsymbol{v}\) 不在一条直线上
• 所有\(c\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{v} + e\boldsymbol{w}\) 的组合会填满三维空间，如果 \(\boldsymbol{w}\) 不在 \(\boldsymbol{u}\) 和 \(\boldsymbol{v}\) 组合成的平面上

3. 长度和点积

两个向量 \(\boldsymbol v=(v_1, v_2)\) 和 \(\boldsymbol w=(w_1, w_2)\) 的点积或者内积 \(\boldsymbol{v \cdot w}\) 定义为：

\[\boldsymbol{v \cdot w} = v_1w_1 + v_2w_2 \]

如果两个的向量的点积为零，说明这两个向量是垂直的，它们之间的角度为 90°。

另一个重要的情况是一个向量和自己点积，这时候点积的结果就是向量长度的平方，或者说向量的长度就等于与自身点积的平方根。

\[\boldsymbol{Length}=norm(v)=||v||=\sqrt{v\cdot v} \]

单位向量就是向量长度为 1 的向量，也就是 \(\boldsymbol{u \cdot u}=1\)。\(\boldsymbol{u}=v/||v||\) 是一个和 \(\boldsymbol{v}\) 在一个方向上的单位向量。

沿着 \(x\) 轴和 \(y\) 轴 的单位向量称为 \(\boldsymbol{i}\) 和 \(\boldsymbol{j}\)，在 \(xy\) 平面中，单位向量 \(\boldsymbol{u}\) 和 \(x\) 轴构成一个夹角 \(\theta\) 。

\[\boldsymbol{i} = \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}，\boldsymbol{j} = \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}，\boldsymbol{u} = \begin{bmatrix}cos\theta \\ sin\theta\end{bmatrix} \]

当两个向量之间的角度小于 90° 时，它们的点积大于 0；当两个向量之间的角度大于 90° 时，它们的点积小于 0；而当两个向量之间的角度等于 90° 时，它们的点积等于 0。

我们可以直观地看到这种情况，当这两个向量分别为单位向量 \(\boldsymbol u=(cos\theta, sin\theta)\) 和 \(\boldsymbol i=(1, 0)\) 时，这时候 \(\boldsymbol{u \cdot i}=cos\theta\)，\(\theta\) 也就是这两个向量之间的角度。

当这两个向量分别旋转到 \(\boldsymbol u=(cos\beta, sin\beta)\) 到 \(\boldsymbol i=(cos\alpha, sin\alpha)\) 时，它们的点积为：

\[\boldsymbol{u \cdot i} = cos\beta cos\alpha + sin\beta sin\alpha = cos(\beta-\alpha) = cos\theta \]

当两个向量不是单位向量的时候，我们就可以先除以向量的长度把它们变成单位向量，因此，同样地，就有：

\[\frac{\boldsymbol{v \cdot w}}{||v|| \space ||w||} = cos\theta \]

因为 \(|cos\theta|\)不会超过 1，因此我们就得到了 施瓦茨不等式（Schwarz Inequality） 和 三角不等式（Triangle inequality）：

\[|\boldsymbol{v \cdot w}| \leqslant ||v||\space ||w|| \]

\[||\boldsymbol{v + w}|| \leqslant ||v|| + ||w|| \]

4. 矩阵

给出三个向量

\[\boldsymbol{u} = \begin{bmatrix}1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}，\boldsymbol{v} = \begin{bmatrix}0 \\ 1\\ -1 \end{bmatrix}，\boldsymbol{w} = \begin{bmatrix}0\\ 0\\1 \end{bmatrix} \]

它们的线性组合 \(c\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{v} + e\boldsymbol{w}\) 为：

\[c\begin{bmatrix}1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}+d\begin{bmatrix}0 \\ 1\\ -1 \end{bmatrix}+e\begin{bmatrix}0\\ 0\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c \\ d-c \\ e-d \end{bmatrix} \]

我们将 \(\boldsymbol{u}，\boldsymbol{v}，\boldsymbol{w}\) 作为矩阵 \(A\) 的列，然后上式可以重写为：

\[\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ -1 &1&0\\ 0&-1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}c \\ d \\ e \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c \\ d-c \\ e-d \end{bmatrix} \]

将 \(c, d, e\) 换成 \(x_1, x_2, x_3\)，我们可以得到：

\[Ax = \begin{bmatrix} & & \\ \boldsymbol{u} &\boldsymbol{v}&\boldsymbol{w}\\ && \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} =x_1\boldsymbol{u} + x_2\boldsymbol{v} + x_3\boldsymbol{w} = \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2-x_1 \\ x_3-x_2\end{bmatrix} \]

这就是说，\(Ax\) 的结果就是对矩阵 \(A\) 的列的线性组合。

我们还可以将上面的乘积表示成另外一种形式，矩阵的行和向量的点积：

\[Ax=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ -1 &1&0\\ 0&-1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}(1, 0, 0) \cdot (x_1, x_2, x_3)\\ (-1, 1, 0) \cdot (x_1, x_2, x_3) \\ (0, -1, 1) \cdot (x_1, x_2, x_3) \end{bmatrix} \]

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