离散时间傅里叶变换

1. 离散时间傅里叶变换的导出

针对离散时间非周期序列，为了建立它的傅里叶变换表示，我们将采用与连续情况下完全类似的步骤进行。

考虑某一序列 $x[n]$，它具有有限持续期；也就是说，对于某个整数 $N_1$ 和 $N_2$，在 $ -N_1 \leqslant N \leqslant N_2$ 以外，$x[n]=0$。下图给出了这种类型的一个信号。

由这个非周期信号可以构成一个周期序列 $\tilde x[n]$，使 $x[n]$ 就是 $\tilde x[n]$ 的一个周期。随着 $N$ 的增大，$x[n]$ 就在一个更长的时间间隔内与 $\tilde x[n]$ 相一致。而当 $N\to \infty$，对任意有限时间值 $n$ 而言，有 $\tilde x[n]=x[n]$。

现在我们来考虑一下 $\tilde x[n]$ 的傅里叶级数表示式

\[\tag{1}\tilde x[n] = \sum_{k=(N)}a_ke^{jk{(2\pi/N)}n} \]

\[\tag{2}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=(N)} \tilde x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n} \]

因为在 $ -N_1 \leqslant N \leqslant N_2$ 区间的一个周期上 $\tilde x[n]=x[n]$，因此我们将上式的求和区间就选在这个周期上

\[\tag{3}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=-N_1}^{N_2} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n} = \frac{1}{N} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n} \]

现定义函数

\[\tag{4}X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\omega n} \]

可见这些系数 $a_k$ 正比于 $X(e^{j\omega})$ 的各样本值，即

\[\tag{5}a_k = \frac{1}{N}X(e^{jk\omega_0}) \]

式中，$\omega_0=2\pi/N$ 用来记作在频域中的样本间隔。将（1）和（5）结合在一起，$\tilde x[n]$ 就可以表示为

\[\tag{6}\tilde x[n] = \sum_{k=(N)} \frac{1}{N}X(e^{jk\omega_0})e^{jk\omega_0n} = \frac{1}{2\pi}\sum_{k=(N)} X(e^{jk\omega_0})e^{jk\omega_0n}\omega_0 \]

随着 $N\to \infty$，$\tilde x[n]$ 趋近于 $x[n]$，式（6）的极限就变成 $x[n]$ 的表达式。再者，当 $N\to \infty$ 时，有 $\omega_0\to 0$，式（6）的右边就过渡为一个积分。

右边的每一项都可以看作是高度为 $X(e^{jk\omega_0})e^{jk\omega_0n}$ 宽度为 $\omega_0$ 的矩形的面积。而且，因为这个求和是在 $N$ 个 $\omega_0=2\pi/N$ 的间隔内完成的，所以总的积分区间总是有一个 $2\pi$ 的宽度。式（6）和式（4）就分别变成

\[\tag{7}\boxed{ x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega} \]

\[\tag{8}\boxed{X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\omega n}} \]

（7）式和（8）式被称为离散时间傅里叶变换对。函数 $X(j\omega)$ 称为 $X(t)$ 的离散时间傅里叶变换，也通常被称为频谱。

例 1
例 2

2. 周期信号的傅里叶变换

考虑如下信号

\[\tag{9} x[n] = e^{j\omega_0 n} \]

其傅里叶变换是如下的冲激串

\[\tag{10}X(e^{j\omega}) = \sum_{l=-\infty}^{+\infty}2\pi\delta(\omega-\omega_0-2\pi l) \]

为了验证该式，必须求出其对应的反变换

\[\tag{11} \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} X(e^{j\omega}) e^{j\omega n}d\omega = \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} \sum_{l=-\infty}^{+\infty}2\pi\delta(\omega-\omega_0-2\pi l) e^{j\omega n}d\omega \]

注意，在任意一个长度为 $2\pi$ 的积分区间内，在上式的和中真正包括的只有一个冲激，因此，如果所选的积分区间包含在 $\omega_0+2\pi r$ 处的冲激，那么

\[\tag{12} \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} X(e^{j\omega}) e^{j\omega n}d\omega = e^{j(\omega_0+2\pi r) n} = e^{j\omega_0 n} \]

现在考虑一周期序列 $x[n]$，周期为 $N$，其傅里叶级数为

\[\tag{13} x[n] = \sum_{k=(N)} a_k e^{jk(2\pi/N)n} \]

这时，傅里叶变换就是

\[\tag{14} X(e^{j\omega}) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} {2\pi} a_k \delta (\omega-\frac{2\pi k}{N}) =\sum_{l=-\infty}^{+\infty} \sum_{k=(N)}{2\pi} a_k \delta (\omega - k\omega_0 - 2\pi l) \]

这样，一个周期信号的傅里叶变换就能直接从它的傅里叶级数系数得到。

3. 离散时间傅里叶变换性质

为了方便，我们将 $x[n]$ 和 $X(e^{j\omega})$ 这一对傅里叶变换用下列符号表示

\[x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{j\omega}) \]

3.1. 离散时间傅里叶变换的周期性

\[\tag{15} \boxed{ X(e^{j(\omega+2\pi)}) = X(e^{j\omega})} \]

3.2. 线性

若

\[x_1[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X_1(e^{j\omega}) \]

和

\[x_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X_2(e^{j\omega}) \]

则

\[\tag{16} \boxed{ ax_1[n]+bx_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} aX_1(e^{j\omega})+bX_2(e^{j\omega})} \]

3.3. 时移与频移性质

若

\[x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{j\omega}) \]

则

\[\tag{17} \boxed{ x[n-n_0] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} e^{-j\omega n_0}X(e^{j\omega})} \]

\[\tag{18} \boxed{ e^{j\omega_0 n}x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{j(\omega-\omega_0)})} \]

3.4. 共轭及共轭对称性

若

\[x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{j\omega}) \]

则

\[\tag{19} \boxed{ x^*[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X^*(e^{-j\omega})} \]

共轭性质就能证明，若 $x(t)$ 为实函数，那么 $X(j\omega)$ 就具有共轭对称性，即

\[\tag{20} \boxed{ X(e^{j\omega}) = X^*(e^{-j\omega}) \qquad [x[n] 为实]} \]

这就是说，离散傅里叶变换的实部是频率的偶函数，而虚部则是频率的奇函数。

3.5. 差分与累加

\[\tag{21} \boxed{ x[n]-x[n-1] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} (1-e^{-j\omega}) X(e^{j\omega})} \]

\[\tag{22} \boxed{ \sum_{m=-\infty}^{n}x[m] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} \frac{1}{1-e^{-j\omega}} X(e^{j\omega})+\pi X(e^{j0}) \sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-2\pi k)} \]

3.6. 时间反转

\[\tag{23} \boxed{ x[-n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{-j\omega})} \]

3.7. 时域扩展

若令是一个正整数，并且定义

\[\tag{24} x_{(k)}[n] = \begin{cases} x[n/k] &\text 当\space n \space为\space k\space的整数倍 \\ 0, &\text 当\space n \space不为\space k\space的整数倍 \end{cases}\]

\[\tag{25} \boxed{ x_{(k)}[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{jk\omega})} \]

3.8. 频域微分

\[\tag{26} \boxed{nx[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} j\frac{dX(e^{j\omega})}{d\omega} } \]

3.9. 帕斯瓦尔定理

\[\tag{27} \boxed{\sum_{-\infty}^{+\infty}|\space x[n] \space |^2 =\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}|X(e^{j\omega})|^2d\omega } \]

3.10. 卷积性质

\[\tag{28} \boxed{y[n]=h[n]*x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} Y(e^{j\omega})=H(e^{j\omega})X(e^{j\omega})} \]

两个信号在时域内的卷积就等于它们傅里叶变换的乘积。

3.11. 相乘性质

\[\tag{29} \boxed{y[n]=x_1[n]x_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} Y(e^{j\omega})=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X_1(e^{j\theta})X_2(e^{j(\omega-\theta)})d\theta} \]

两个信号在时域内的相乘就对应于频域内的周期卷积。