1. 非周期信号的表示：连续时间傅里叶变换
为了对傅里叶变换的实质进行更深入的了解，我们先从一个连续时间周期方波的傅里叶级数表示着手。即，在一个周期内
\[x(t) = \begin{cases}
1, & \text |t| < T_1 \\
0, & \text T_1 < |t| < T/2
\end{cases}\]
以周期 \(T\) 周期重复，如下图所示。
该方波信号的傅里叶级数系数 \(a_k\) 是
\[\tag{1}a_k = \frac{2sin(k\omega_0T_1)}{k\omega_0T}
\]
式中 \(\omega_0 = 2\pi/T\)。
理解（1） 式的另一种方式是把它当作一个包络函数的样本，即
\[\tag{2}Ta_k = \frac{2sin\omega T_1}{\omega}\lvert _{\omega=k\omega_0}
\]
这就是，若将 \(\omega\) 看作一个连续变量，则函数 $ {(2sin\omega T_1)}/{\omega}$ 就代表 \(Ta_k\) 的包络，这些系数就是在此包络上等间隔取得的样本。而且，若 \(T_1\) 固定，则 \(Ta_k\) 的包络就与 \(T\) 无关，如下图所示。
从该图可以看出，随着 \(T\) 增加，该包络就被以愈来愈密集的间隔采样。随着 \(T\) 变得任意大，原来的周期方波就趋近于一个矩形脉冲（也就是说，在时域保留下的是一个非周期信号，它对应于原方波的一个周期）。
与此同时，傅里叶级数（乘以 \(T\) 后）作为包络上的样本也变得愈来愈密集，这从某种意义上来说，随着 \(T\to \infty\)，傅里叶级数就趋近于这个包络函数。
这个例子说明了对非周期信号建立傅里叶表示的基本思想，可以把非周期信号当作一个周期任意大的极限来看待。
现在我们来考虑一个信号 \(x(t)\)，它具有有限持续期 \(2T_1\)，从这个周期信号出发，可以构成一个周期信号 \(\tilde x(t)\)，使 \(x(t)\) 就是 \(\tilde x(t)\) 的一个周期。当把 \(T\) 选的比较大时，\(x(t)\) 就在一个更长的时段上与 \(\tilde x(t)\) 相一致，并且随着 \(T\to \infty\)，对任意有限时间值 \(t\) 而言，\(\tilde x(t)\) 就等于 \(x(t)\)。
在这种情况下，我们考虑将 \(\tilde x(t)\) 表示成傅里叶级数，将积分区间选为 \(-T/2 \leqslant t \leqslant T/2\)。
\[\tag{3}\tilde x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jk\omega_0t}
\]
\[\tag{4}a_k = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\tilde x(t)e^{-jk\omega_0t}dt
\]
式中 \(\omega_0=2\pi / T\)，由于在 \(|t|< T/2\) 内，\(\tilde x(t)=x(t)\)，而在其余地方，\(x(t)=0\)，所以（4）式可以重新写为
\[\tag{5}a_k = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-jk\omega_0t}dt=\frac{1}{T}\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-jk\omega_0t}dt
\]
因此，定义 \(Ta_k\) 的包络 \(X(j\omega)\) 为
\[\tag{6}X(j\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt
\]
这时候，系数 \(a_k\) 可以写为
\[\tag{7}a_k = \frac{1}{T}X(jk\omega_0)
\]
将（3） 和 （7）结合在一起，\(\tilde x(t)\) 就可以用表示为
\[\tag{8}\tilde x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T}X(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t} = \frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} X(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t}\omega_0
\]
随着 \(T\to \infty\)，\(\tilde x(t)\) 趋近于 \(x(t)\)，式（8）的极限就变成 \(x(t)\) 的表达式。再者，当 \(T\to \infty\) 时，有 \(\omega_0\to 0\)，式（8）的右边就过渡为一个积分。
右边的每一项都可以看作是高度为 \(X(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t}\) 宽度为 \(\omega_0\) 的矩形的面积。式（8）和式（6）就分别变成
\[\tag{9}\boxed{ x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega)e^{j\omega t}d\omega}
\]
\[\tag{10}\boxed{X(j\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}
\]
（9）式和 （10）式被称为傅里叶变换对。函数 \(X(j\omega)\) 称为 \(X(t)\) 的傅里叶变换或傅里叶积分，也通常被称为频谱，而 （9）式称为傅里叶反变换式。
sinc 函数通常所用的形式为
\[\tag{11} sinc(\theta)=\frac{sin\pi\theta}{\pi\theta}
\]
2. 周期信号的傅里叶变换
考虑一个信号 \(x(t)\)，其傅里叶变换 \(X(j\omega)\) 是一个面积为 \(2\pi\)，出现在 \(\omega = \omega_0\)处的单独的一个冲激，即
\[\tag{12} X(j\omega) = 2\pi\delta(\omega-\omega_0)
\]
为了求出与 \(X(j\omega)\) 对应的 \(x(t)\)，可以应用式（9）的反变换公式得到
\[\tag{13}x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} 2\pi\delta(\omega-\omega_0)e^{j\omega t}d\omega=e^{j\omega_0 t}
\]
将上面的结果再加以推广，如果 \(X(j\omega)\) 是在频率上等间隔的一组冲激函数的线性组合，即
\[\tag{14} X(j\omega) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}2\pi a_k\delta(\omega-k\omega_0)
\]
那么利用式（9），可得
\[\tag{15} x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jk\omega_0 t}
\]
可以看出，式（15）就是一个周期信号所给出的傅里叶级数表示。因此，一个傅里叶级数系数为 \(\{a_k\}\) 的周期信号的傅里叶变换，可以看成是出现在成谐波关系的频率上的一串冲激函数，发生于第 \(k\) 次谐波频率 \(k\omega_0\) 上的冲激函数的面积是第 \(k\) 个傅里叶级数系数 \(a_k\) 的 \({2\pi}\) 倍。
3. 连续时间傅里叶变换性质
为了方便，我们将 \(x(t)\) 和 \(X(j\omega)\) 这一对傅里叶变换用下列符号表示
\[x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega)
\]
3.1. 线性
若
\[x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega)
\]
和
\[y(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} Y(j\omega)
\]
则
\[\tag{16} \boxed{ ax(t)+by(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} aX(j\omega)+bY(j\omega)}
\]
3.2. 时移性质
若
\[x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega)
\]
则
\[\tag{17} \boxed{ x(t-t_0) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} e^{-j\omega t_0}X(j\omega)}
\]
这个性质说明：信号在时间上移位，并不改变它的傅里叶变换的模。
3.3. 共轭及共轭对称性
若
\[x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega)
\]
则
\[\tag{18} \boxed{ x^*(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X^*(-j\omega)}
\]
共轭性质就能证明，若 \(x(t)\) 为实函数，那么 \(X(j\omega)\) 就具有共轭对称性，即
\[\tag{19} \boxed{ X(-j\omega) = X^*(j\omega) \qquad [x(t) 为实]}
\]
这就是说，傅里叶变换的实部是频率的偶函数，而虚部则是频率的奇函数。
3.4. 微分和积分
\[\tag{20} \boxed{ \frac{dx(t)}{dt} \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} j\omega X(j\omega)}
\]
\[\tag{21} \boxed{ \int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} \frac{1}
{j\omega} X(j\omega)+\pi X(0)\delta(\omega)}\]
3.5. 时间与频率的尺度变换
若
\[x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega)
\]
\[\tag{22} \boxed{ x(at) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} \frac{1}{|a|}X(\frac{j\omega}{a})}
\]
若令 \(a=-1\)，则有
\[\tag{23} \boxed{ x(-t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(-j\omega)}
\]
3.6. 对偶性
3.7. 帕斯瓦尔定理
若
\[x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega)
\]
则
\[\tag{24} \boxed{\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2dt =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|X(j\omega)|^2d\omega }
\]
3.8. 卷积性质
\[\tag{25} \boxed{y(t)=h(t)*x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow}
Y(j\omega)=H(j\omega)X(j\omega)}\]
两个信号在时域内的卷积就等于它们傅里叶变换的乘积。
3.9. 相乘性质
\[\tag{27} \boxed{r(t)=s(t)p(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} R(j\omega)=\frac{1}{2\pi}[S(j\omega)*P(j\omega)]}
\]
两个信号在时域内的相乘就对应于频域内的卷积。
4. 傅里叶变换性质和基本傅里叶变化列表
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