回溯算法

1. 什么是回溯算法

回溯可以看作是一个搜索问题解的过程，这个过程分为很多个阶段，每一个阶段我们都有很多个选择，但我们不知道选择哪一个，所以就随机选择一个继续进行下一个阶段，如果发现找不到解，就回退到上一个阶段采取另外的选择再继续搜索。

比如之前图的深度搜索问题，我们就是沿着起始顶点一直向下搜索，发现走不下去了再选择另外一条边继续搜索。

另一个经典的例子则是八皇后问题，我们有一个 8×8 的棋盘，希望在里面放置八个皇后，满足每个皇后所在的行、列和对角线都不能有另外一个皇后。

result = [0] * 8
num = [0]


def print_queen(result):

    for row in range(8):
        for col in range(8):
            if result[row] == col:
                print('Q ', end='')
            else:
                print('* ', end='')
        print()
    print()


def check(row, column):

    # 检查前面行是否有皇后位于同一列或者对角线上
    leftup = column - 1
    rightup = column + 1
    for i in range(row-1, -1, -1):
        if result[i] == column:
            return False
        if 0 <= leftup == result[i]:
            return False
        if 7 >= rightup == result[i]:
            return False

        leftup -= 1
        rightup += 1

    return True


def find_eight_queens(row):

    if row == 8:
        print_queen(result)
        num[0] += 1
        return

    for column in range(8):
        if check(row, column):
            result[row] = column
            find_eight_queens(row+1)


find_eight_queens(0)
print(num[0])

我们从第 0 行开始放置皇后，每一行都有 8 种可能，但是要检查前面的行是否有皇后位于同一列或者对角线上。总共有 92 种解决方案，几个示例如下。

2. 0-1 背包问题

假设我们有一个背包，总的承重量为 W Kg，现在我们有 n 个物品，每个物品的重量不等。要求选择若干个物品，在不超过背包总承重量的前提下，尽可能放最大重量的物体。

这个问题可以看作是一系列的选择，对于 n 个物品，每一个物品我们都可以选择放入背包或者不放入背包，然后就可以用回溯的思想来解决。在这里，当我们发现选择的物品总重量超过 W 之后，我们就停止搜索，返回上一步。

items = [10, 52, 31, 20, 35, 26, 15, 60]
biggest_weight = 100
n = 8
max_weight = 0
result = []


def bag(num, current_weight):

    global max_weight

    if current_weight == biggest_weight or num == n:
        if current_weight >= max_weight:
            max_weight = current_weight
            print(result, max_weight, num)
        return

    # 将当前物品不放入背包
    bag(num+1, current_weight)

    # 不超重的话，将当前物品放入背包
    if current_weight + items[num] <= biggest_weight:
        result.append(items[num])
        bag(num+1, current_weight+items[num])
        result.pop(-1)


bag(0, 0)
print(max_weight)

3. 正则表达式匹配

针对这个问题，我们需要重点考虑通配符 \('*'\) 的情况。如果 p 中下一个字符是 \('*'\)，我们要分两种情况：

1. 如果当前 s 和 p 的两个字符相等或者 p 中的字符为 \('.'\) 且 s 还没到末尾，那么我们有以下几个选择：

• 后面的 \('*'\) 匹配零个元素，也就是 p 跳过两个字符，s 保持当前位置不变
• 后面的 \('*'\) 匹配一个元素，也就是 p 跳过两个字符，s 跳过一个字符
• 后面的 \('*'\) 匹配多个元素，也就是 p 保持当前位置不变，s 跳过一个字符

2. 如果当前 s 和 p 的两个字符不相等或者 p 中的字符也不是 \('.'\) 或者 s 还没到末尾，那么后面的 \('*'\) 必须匹配零个元素，也就是 p 跳过两个字符，s 保持当前位置不变

class Solution {
public:

    bool isMatch(string s, string p) {
        return match(0, 0, s, p);
    }  
    
    bool match(int i, int j, string &s, string &p)
    {
        // 两个字符串都到结尾了,匹配成功
        if (i == s.size() && j == p.size())  
            return true; 
            
        // 若 s 没到结尾但 p 到结尾了，匹配失败
        if (i != s.size() && j == p.size())  
            return false;
        
        if (p[j+1] == '*')
        {
            if (s[i] == p[j] || (p[j] == '.' && i != s.size()))
            {
                return match(i, j+2, s, p) || // * 匹配零个元素
                match(i+1, j+2, s, p) || // * 匹配一个元素
                match(i+1, j, s, p); // * 匹配多个元素
            }
            // 当前两个字符不想等或者 s 到达了末尾
            // 则 * 只能匹配零个元素
            else 
            {
                return match(i, j+2, s, p);
            }       
        }
        if (s[i] == p[j] || (p[j] == '.' && i != s.size()))
        {
            return match(i+1, j+1, s, p);
        }
        return false;
    }
};

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