线性代数之——复数矩阵

为了完整地展示线性代数，我们必须包含复数。即使矩阵是实的，特征值和特征向量也经常会是复数。

1. 虚数回顾

虚数由实部和虚部组成，虚数相加时实部和实部相加，虚部和虚部相加，虚数相乘时则利用 \(i^2=-1\)。

在虚平面，虚数 \(3+2i\) 是位于坐标 \((3, 2)\) 的一个点。复数 \(z=a+bi\) 的共轭为 \(\bar z=z^*=a-bi\)。

在极坐标下，复数则可以写作模长和极角的形式。

两个复数相乘是模长相乘，极角相加。

\[(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta} \]

2. 厄米特（Hermitian）矩阵和酉（Unitary）矩阵

这部分的重点可以用一句话来介绍：当你对一个复数向量或者矩阵进行转置时，同时对它们取共轭。

为什么要这样做呢？一个理由是复数向量长度的特殊性。针对实向量，其长度的平方为 \(x_1^2+\cdots+x_n^2\)，但复数向量长度的平方并不是 \(z_1^2+\cdots+z_n^2\)。比如 \(z=(1, i)\) 长度的平方并不是 \(1^2+i^2=0\)，而应该是 \(z\bar z=1^2+|i^2|=2\)。

我们定义一个新符号，\(\bar z^T=z^H\)，来表示向量的共轭转置，这个符号也可以应用到矩阵中去。

同时，我们也要对向量的内积定义进行一下扩展，但内积为零仍然表明正交。

这时候，向量的顺序就变得重要了。

\[\boldsymbol v^H\boldsymbol u=\bar v_1u_1+\cdots+\bar v_nu_n=(\boldsymbol u^H\boldsymbol v)^* \]

一个厄米特矩阵满足 \(A^H=A\)，每一个实对称矩阵都是厄米特的，因为实数的共轭还是它本身。

如果 \(A^H=A\)，\(\boldsymbol z\) 是任意向量，那么 \(\boldsymbol z^HA\boldsymbol z\) 是实数。

\[(z^HAz)^H=z^HA^Hz=z^HAz \]

来自对角线上的两项都是实数，而来自非对角线上的两项互为共轭，相加之后也为实数。

厄米特矩阵的每个特征值都是实数。

\[A\boldsymbol z=\lambda \boldsymbol z \to \boldsymbol z^HA\boldsymbol z=\lambda \boldsymbol z^H \boldsymbol z \]

上式左边为实数，\(\boldsymbol z^H\boldsymbol z\) 是长度的平方，是正实数，所以特征值也必须为实数。

厄米特矩阵对应于不同特征值的特征向量是正交的。

\[\tag{1}A\boldsymbol z=\lambda \boldsymbol z \to \boldsymbol y^HA\boldsymbol z=\lambda \boldsymbol y^H\boldsymbol z \]

\[\tag{2}A\boldsymbol y=\beta \boldsymbol y \to \boldsymbol z(A\boldsymbol y)^H=\boldsymbol z(\beta \boldsymbol y)^H \to \boldsymbol y^HA\boldsymbol z=\beta \boldsymbol y^H\boldsymbol z \]

比较 (1) 式和 (2) 式可得，两式左边相等，所以右边应该也相等。又由于两个特征值不一样，所以有 \(y^H\boldsymbol z=0\)，两个特征向量正交。

酉矩阵是一个有着标准正交列的方阵。

任意有着标准正交列的矩阵满足 \(U^HU=I\)，如果它还是一个方阵，那么有 \(U^H=U^{-1}\)。

一个酉矩阵乘以任意向量，向量的长度保持不变。

\[\boldsymbol z^HU^HU\boldsymbol z=\boldsymbol z^H\boldsymbol z \]

而且，酉矩阵的所有特征值的绝对值都为 1。

最后，我们来总结一下实数和虚数向量以及矩阵之间的一些概念迁移。

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