线性代数之——线性变换及对应矩阵

1. 线性变换的概念

当一个矩阵 $A$ 乘以一个向量 $\boldsymbol v$ 时，它将 $\boldsymbol v$ 变换到另一个向量 $A\boldsymbol v$。进来的是 $\boldsymbol v$，出去的是 $T( \boldsymbol v) = A\boldsymbol v$。一个变换 $T$ 就像一个函数一样，进来一个数字 $x$，得到 $f(x)$。但更高的目标是一次考虑所有的 $\boldsymbol v$，我们是将整个空间 $\boldsymbol V$ 进行变换当我们用 $A$ 乘以每一个向量 $\boldsymbol v$ 时。

一个变换 $T$，为空间 $\boldsymbol V$ 中的每一个向量 $\boldsymbol v$ 分配一个输出 $T( \boldsymbol v)$。这个变换是线性的，如果它满足：

$$(a) \quad T(\boldsymbol v+\boldsymbol w)=T(\boldsymbol v) + T(\boldsymbol w) \quad (b) \quad T(c\boldsymbol v)=cT(\boldsymbol v) \space 对任意 \space c \space 成立$$

我们可以将这两个条件结合成一个，

$$T(c\boldsymbol v+d\boldsymbol w)=cT(\boldsymbol v) + dT(\boldsymbol w)$$

矩阵相乘满足线性变化，因为 $A(c\boldsymbol v+d\boldsymbol w)=cA\boldsymbol v + dA\boldsymbol w$ 始终成立。

线性变换满足线到线，三角形到三角形，看下图。

在一条线上的三个点经过变换后仍然在一条线上，变换前等距离的点变换后仍然是等距离的点，输入是一个三角形变换后输出还是一个三角形。这种线性可以扩展到三个向量或者 N 个向量的组合。

变换有自己的语言，如果没有矩阵的话，我们没办法讨论列空间。但是这些思想可以被保留，比如列空间包含所有的线性组合 $Av$，零空间包含所有使得 $Av=0$ 的输入。将它们转化为值域（range）和核（kernel）：

$T$ 的值域 = 所有输出 $T(v)$ 的集合，对应于列空间。
$T$ 的核 = 所有使得 $T(v)=0$ 的输入的集合，对应于零空间。

投影任意一个三维向量到 $xy$ 平面，那么我们有 $T(x, y, z)=(x, y, 0)$。值域就是这个平面，包含了所有的 $T(v)$；核是 $z$ 轴，它们被投影到了零点。这是一个线性的变换。

投影任意一个三维向量到 $z=1$ 平面，那么我们有 $T(x, y, z)=(x, y, 1)$。这不是一个线性的变换，为什么呢？它根本不能将零向量投影到零点，而这是线性变换必须满足的条件。

假设 $A$ 是一个可逆的矩阵，那么核是零向量，值域 $W$ 和输入空间 $V$ 相同。有另一个线性变化是乘以矩阵 $A^{-1}$，它将每一个 $T(v)$都带回到 $v$，有，

$$T^{-1}(T(v))=v \Longleftrightarrow A^{-1}Av=v$$

我们遇到了一个不可避免的问题，所有的线性变换都可以由一个矩阵产生吗？答案是肯定的，所有的变换比如旋转、投影……背后都藏着对应的一个矩阵。

最后我们来直观地感受一下线性变换，看一个矩阵是怎么旋转、拉伸或者以其它方式改变输入的房子的。

2. 线性变换的对应矩阵

这部分的核心在于，如果我们知道了基向量 $\boldsymbol{v_1} \cdots \boldsymbol{v_n}$ 的变换 $T(\boldsymbol{v_1}) \cdots T(\boldsymbol{v_n})$，那么由于变换是线性的，我们就知道了任意输入向量 $\boldsymbol{v}$ 的变换 $T(\boldsymbol{v})$。

每个向量 $\boldsymbol{v}$ 都可以表示为基向量的唯一线性组合 $c_1\boldsymbol{v_1}+ \cdots +c_n\boldsymbol{v_n}$，又由于 $T$ 是线性变换，那么必有 $T(\boldsymbol{v}) = c_1T(\boldsymbol{v_1})+ \cdots +c_nT(\boldsymbol{v_n})$。

函数 $1, x, x^2, x^3$ 的导数是 $0, 1, 2x, 3x^2$。这里，$1, x, x^2, x^3$是立方多项式空间的一个基，输入空间 $V$ 包含它们的所有组合，四个基的导数可以告诉我们空间 $V$ 中的所有导数。

针对求导这个变换 $T$，我们求解 $d\boldsymbol v/dx=\boldsymbol0$ 来找到它的核。解是 $\boldsymbol v=常数$，因此 $T$ 的零空间是一维的，包含所有的常函数。我们查看 $T(v) = d\boldsymbol v/dx$ 的所有输出来找到它的值域，由于输入是三次多项式，三次多项式的导数是二次多项式，所以如果输出空间 $W$ 是二次多项式空间的话， 那么 $T$ 的值域是整个 $W$ ，维度为 3。核的维度+值域的维度=输入空间的维度。

导数将立方空间 $V$ 变换到平方空间 $W$，对应的矩阵是 $3×4$ 大小的。

为什么 $A$ 是正确的矩阵，我们可以看到乘以矩阵 $A$ 和变换 $T$ 是一致的，$\boldsymbol{v}=a+bx+cx^2+dx^3$ 的导数是 $T(v)=b+2cx+3dx^2$。

然后我们来看积分变换 $T^{-1}$，对应的矩阵是 $4×3$ 大小的，$\boldsymbol{w}=B+Cx+Dx^2$ 的导数是 $T^{-1}(w)=0+Bx+\frac{1}{2}Cx^2+\frac{1}{3}Dx^3$。

长方形的矩阵 $A$ 没有双边逆矩阵，但它有单边逆，积分是导数的单边逆。

如果你对一个函数积分后再求导，那么你又回到了起始函数，所以 $AA^{-1}=I$。但是，如果你先求导再积分，常数项就会丢失，$T^{-1}T(1)=0$，这也就是为什么 $A^{-1}A$ 的第一列为 0。

现在我们来构建任意线性变换的矩阵。假设变换 $T$ 将 $n$ 维空间 $V$ 变换到 $m$ 维空间 $W$， $\boldsymbol{v_1} \cdots \boldsymbol{v_n}$ 是 $V$ 的一组基向量，$\boldsymbol{w_1} \cdots \boldsymbol{w_m}$ 是 $W$ 的一组基向量。那么矩阵 $A$ 是 $m×n$ 大小的，要找到它的第一列，我们应用 $T$ 到第一个基向量 $\boldsymbol{v_1}$，$T(\boldsymbol{v_1})$ 位于 $W$ 空间并有，

$$T(\boldsymbol{v_1}) = a_{11}\boldsymbol{w_1}+ \cdots +a_{m1}\boldsymbol{w_m}$$

这些数字就是 $A$ 的第一列元素，同理我们可以得到矩阵的所有元素。

所有的输入向量都可以表示为 $V$ 中基向量的线性组合，变换后的输出则是 $W$ 中基向量的线性组合。矩阵 $A$ 告诉了我们变换 $T$ 做了什么，任何从 $V$ 到 $W$ 的变换都可以转换为一个矩阵，这个矩阵则取决于基向量的选择。

两个变换 $S$ 和 $T$ 分别用矩阵 $B$ 和 $A$ 表示。当我们应用 $T$ 变换到 $S$ 变换的输出，我们得到了变换的组合 $TS$；当我们在 $B$ 之后应用 $A$，我们得到了矩阵相乘 $AB$。矩阵相乘给出了变换 $TS$ 的正确矩阵 $AB$。

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