线性代数之——对称矩阵及正定性

当 \(A\) 是对称的时候，\(Ax=\lambda x\) 有什么特殊的呢？

1. 对称矩阵的分解

\[A = S\Lambda S^{-1} \]

\[A^T = (S^{-1})^T\Lambda S^{T} \]

如果 \(A\) 是对称矩阵，也就是 \(A=A^T\)。对比以上两个式子，我们可以得到 \(S^{-1}=S^T\)，也就是 \(S^TS=I\)，特征向量矩阵 \(S\) 是正交的。

对称矩阵具有如下的性质：

• 它们的特征值都是实数；
• 可以选取出一组标准正交的特征向量。

每个对称矩阵都可以分解为 \(A=Q\Lambda Q^{-1}=Q\Lambda Q^T\)，\(\Lambda\) 中为实数的特征值，\(S=Q\) 中为标准正交的特征向量。

• 例 1

\[A = \begin{bmatrix} 1&2 \\2&4\end{bmatrix} \]

\[A-\lambda I = \begin{bmatrix} 1-\lambda&2 \\2&4-\lambda\end{bmatrix} \]

\[det(A-\lambda I) = (1-\lambda)(4-\lambda)-4=\lambda^2-5\lambda=0 \]

特征值和特征向量分别为：

\[\lambda_1 = 0，x_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} \]

\[\lambda_2 = 5，x_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \]

特征向量 \(x_1\) 位于零空间，特征向量 \(x_2\) 位于列空间。有子空间基本定理可知，零空间正交于行空间，这里 \(A\) 是对称矩阵，所以列空间和行空间是一样的，因此两个特征向量是垂直的。而要得到标准正交向量，我们只需再除以它们各自的长度即可。所以有：

\[Q\Lambda Q^T=\frac{1}{\sqrt5}\begin{bmatrix} 2&1 \\-1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&0 \\0&5\end{bmatrix}\frac{1}{\sqrt5}\begin{bmatrix} 2&-1 \\1&2\end{bmatrix} =A \]

一个实对称矩阵的所有特征值都是实数。

证明

实数的共轭还是它本身，两个数积的共轭等于共轭的积，即 \(\overline{AB}=\bar A \bar B\)。

\[\tag{1}Ax=\lambda x \to \bar A\bar x=\bar \lambda\bar x \to A\bar x=\bar \lambda\bar x \]

对 (1) 进行转置可得

\[\tag{2}\bar x^TA^T=\bar \lambda\bar x^T \to \bar x^TA=\bar \lambda\bar x^T \]

将 \(Ax=\lambda x\) 乘以 \(\bar x^T\)，将 (2) 式乘以 \(x\)，可得

\[\tag{3}\bar x^TAx=\lambda \bar x^Tx \]

\[\tag{4}\bar x^TAx=\bar \lambda\bar x^Tx \]

由于右边为向量长度的平方，因此不为零。对比 (3) 、(4) 两式可得 \(\bar \lambda= \lambda\)，所以对称矩阵的特征值一定为实数。

一个实对称矩阵的所有特征向量（对应于不同特征值）是正交的。

证明

假设有 \(Ax=\lambda_1 x\) 和 \(Ay=\lambda_2 y\)，并且 \(\lambda_1 \not = \lambda_2\)，那么

\[(\lambda_1 x)^Ty = (Ax)^Ty=x^TA^Ty=x^TAy=x^T\lambda_2y \]

等式左边为 \(x^T\lambda_1y\)，等式右边为 \(x^T\lambda_2y\)，因为 \(\lambda_1 \not = \lambda_2\)，所以有 \(x^Ty=0\)，也即两个特征向量垂直。

• 例 2

\[A = \begin{bmatrix} a&b \\b&c\end{bmatrix} \]

特征向量分别为：

\[x_1 = \begin{bmatrix} b \\ \lambda_1-a \end{bmatrix} \]

\[x_2 = \begin{bmatrix} \lambda_2-c \\ b \end{bmatrix} \]

\[x_1^Tx_2=b(\lambda_2-c)+b(\lambda_1-a)=b(\lambda_1+\lambda_2-a-c)=0 \]

两个特征值的和为矩阵的迹，即对角线元素的和。

我们再来看 \(2×2\) 矩阵分解后的结果

\[A=Q\Lambda Q^T = \begin{bmatrix} \\x_1& x_2 \\ \space \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \lambda_1\\ \space & \lambda_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \quad x_1^T\quad\\ \quad x_2 \quad \end{bmatrix} \]

\[A=\lambda_1 x_1x_1^T+\lambda_2 x_2x_2^T \]

扩展到 \(n\) 维的情况，\(A=\sum_i^n\lambda_i x_ix_i^T\)，其中每一个 \(x_ix_i^T\) 都是投影矩阵，\(P=\frac{xx^T}{x^Tx}\)，特征向量的长度为 1，所以分母略去了。也就是说，对称矩阵是其特征向量投影矩阵的线性组合。

2. 实矩阵的复特征向量

\[Ax=\lambda x \to \bar A\bar x=\bar \lambda\bar x \to A\bar x=\bar \lambda\bar x \]

针对对称矩阵，其特征值和特征向量都是实的。但是，非对称矩阵非常容易得到虚的特征值和特征向量。在这种情况下，\(Ax=\lambda x\) 和 \(A\bar x=\bar \lambda\bar x\) 是不同的，我们得到了一个新的特征值 \(\bar \lambda\) 和新的特征向量 \(\bar x\)。

针对实矩阵，复数的特征值和特征向量总是一对共轭对。

3. 特征值和主元

矩阵的主元和特征值是非常不同的，主元是通过消元得到的，而特征值是通过求解 \(det(A-\lambda I)=0\) 得到的。到目前为止，它们唯一的联系就是：所有主元的乘积等于所有特征值的乘积，都等于矩阵的行列式值。

针对对称矩阵，还有一个隐藏的关系：主元的符号和特征值的符号一致，也就是正的主元个数等于正的特征值的个数。

证明

对称矩阵可以被分解为 \(A=LDL^T\) 的形式。

当 \(L\) 变成 \(I\) 的时候，\(LDL^T\) 就变成了 \(IDI^T\)，也就是由 \(A\) 变成了 \(D\)。\(A\) 的特征值为 4 和 -2，\(D\) 的特征值为 1 和 -8。当 \(L\) 中左下角的元素从 3 变到 0 的时候， \(L\) 就变成了 \(I\)。在这个过程中，如果特征值符号发生改变的话，那肯定会有一个中间时刻，这时候特征值为 0，也就意味着矩阵是奇异的。但是最后的矩阵 \(D\) 一直有两个主元，始终是可逆的，从来不可能是奇异的，因此特征值的符号不会发生改变。

特别地，所有的特征值都大于零，也就是所有的主元都大于零，这种情况下，矩阵就称之为是正定的。

4. 重复的特征值

当没有重复特征值的时候，特征向量一定是线性不相关的，这时候矩阵一定可以被对角化。但是一个重复的特征值可能会导致特征向量的缺乏，这有些时候会发生在非对称矩阵上，但是对称矩阵一定会有足够的特征向量来进行对角化。

证明

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