线性代数之——行列式公式及代数余子式

计算机通过主元来计算行列式，但还有另外两种方法，一种是大公式，由 \(n!\) 项置换矩阵组成；另一种是代数余子式公式。

主元的乘积为 \(2 * \frac{3}{2}* \frac{4}{3}* \frac{5}{4} = 5\)。
大公式有 \(4!=24\) 项，但只有 5 个非零项。

\[det A = 16-4-4-4+1 = 5 \]

16 来自于对角线上 4 个 2 的乘积，其余的通过公式我们也都可以找到。

代数余子式公式用第一行的数字 2，-1，0， 0分别乘以它们的代数余子式 4， 3， 2， 1，得到 8-3 = 5。

1. 主元公式

消元过程会让主元 \(d_1,\cdots,d_n\) 最后出现在矩阵 \(U\) 的对角线上，如果没有行交换，那么有：

\[det A = (det L)(det U) = (1)(d_1d_2\cdots d_n) \]

如果有行交换，那么有 \(PA=LU\) 而且有 \(|P| = \pm1\)，所以

\[det A = \pm(d_1d_2\cdots d_n) \]

如果主元的个数少于 \(n\)，那么 \(det A=0\)，矩阵是不可逆的。

例 1

例 2

\[det A = 2 * \frac{3}{2}* \frac{4}{3}* \frac{5}{4} \cdots *\frac{n+1}{n} = n+1 \]

而且，我们可以看到，前 \(k\) 个主元来自于矩阵 \(A\) 左上角大小为 \(k×k\) 的矩阵 \(A_k\)。

\[det A_k = d_1d_2\cdots d_k \]

假设没有行交换，那在我们消元的过程中，有 \(A_k = L_kU_k\)，因此

\[\frac{det\space A_k}{det \space A_{k-1}}=\frac{det\space U_k}{det \space U_{k-1}} \to d_k=\frac{d_1d_2\cdots d_{k-1}d_k}{d_1d_2\cdots d_{k-1}} \]

2. 大公式

大公式直接利用矩阵中的每一个元素来计算行列式，一个 \(3×3\) 矩阵的计算公式如下所示。

注意到，每一项乘积的三个元素都分别来自于矩阵中的三行和三列，而其前面的符号其实是由置换矩阵来决定的。

由行列式的线性性质我们可以将一个 \(2×2\) 矩阵的行列式分成四项：

其中，第一个和第四个行列式为 0，因为它们有全零列。因此，只余下 \(2!=2\) 项需要计算。

对于一个 \(3×3\) 的矩阵，其行列式可以分成 27 项，但只有 6 个非零项。

前面三个置换矩阵有偶数次行交换，因此其行列式为 1；而后面三个置换矩阵有奇数次行交换，因此其行列式为 -1。

因此，矩阵 \(A\) 的行列式是 \(n!\) 项简单行列式的和，每一项的系数是 1 或者 -1，其中简单的行列式是从每一行每一列中选取一个元素组成。

3. 代数余子式公式

利用行列式的线性性质，我们将第一行的三个元素分别提取出来，可以得到。

其中，括号里面的项称为代数余子式（cofactor），它们是 \(2×2\) 矩阵的行列式。第一行贡献出因子 \(a_{11}，a_{12}，a_{13}\)，余下的行贡献出代数余子式 \(C_{11}，C_{12}，C_{13}\)，然后行列式的值就是 \(a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}\)。