线性代数之——行列式及其性质

方阵的行列式是一个数字，这个数字包含了矩阵的大量信息。首先，它立即告诉了我们这个矩阵是否可逆。矩阵的行列式为零的话，矩阵就没有逆矩阵。当 \(A\) 可逆的时候，其逆矩阵 \(A^{-1}\) 的行列式为 \(1 / det(A)\)。

行列式可以用来求逆矩阵、计算主元和求解方程组，但是我们很少这样做，因为消元会更快。

对于上述矩阵，如果行列式 \(ad-bc\) 为零的话，我们不能除以零，也就是没有逆矩阵。其主元为 \(a\) 和 \(d - (c/a)b\)，主元的乘积就是行列式的值。

行列式有三个基本的性质，由这三个性质我们可以计算任意方针的行列式， \(A\) 的行列式记作 \(det(A)\) 或者 \(|A|\)。

• 性质 1： \(det \space I = 1\)，单位矩阵的行列式为 1 ，与之对应的是单位立方体的体积是 1。

• 性质 2： 当两行进行交换的时候行列式改变符号。

由这个性质，我们可以很容易得到所有置换矩阵的行列式，置换矩阵都是由单位矩阵演化而来，当有奇数次行交换时，\(det \space P = -1\)；当有偶数次行交换时，\(det \space P = 1\)。

• 性质 3： 行列式是单独每一行的线性函数（其它行不变）。

若某一行乘以 \(t\)，行列式就也乘以 \(t\)。如果某一行加上另一行，行列式就也相加。

这不意味着 \(2I = 2 det\space I\)， \(2I\) 是对其中的每一行都乘以 2，因此要乘以 \(2^n\)。

这就像面积或者体积一样，长方形的长和宽都变为原来的 2 倍的话，面积就会变为 4 倍。

• 性质 4： 当矩阵中有两行一样的话，\(det(A)=0\)。

利用性质 2，我们对这两行进行行交换，矩阵仍然保持不变，但其行列式需要变号，那么行列式只能为零。

• 性质 5： 用矩阵的一行减去另一行的倍数，行列式不变。

\[\begin{vmatrix}a&b\\ c-\lambda a&d-\lambda b\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a&b\\ c &d \end{vmatrix} -\lambda \begin{vmatrix}a&b\\ a& b\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}a&b\\ c &d \end{vmatrix} \]

在消元的过程中，行列式不会改变，如果有行交换的话，符号不同，因此有 \(det \space A = \pm det \space U\)。

• 性质 6： 当矩阵的某一行全为零的时候，行列式为零。

利用性质 5，将全零行加上另外一行。

\[\begin{vmatrix}a&b\\ 0&0\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a&b\\ a& b\end{vmatrix} =0 \]

• 性质 7： 如果矩阵是三角形的，那么行列式等于对角线上元素的乘积。

利用性质 5，我们可以将对角线上面或者下面的元素通过消元法全部变成 0，这不会改变行列式的值。然后，矩阵就只有对角线上有非零值，我们再利用性质 3 将每行的系数提取出来，矩阵就变成了单位矩阵。

• 性质 8： 如果矩阵是可逆的那么 \(det(A)\not=0\)，反之 \(det(A)=0\)。

消元过程会让 \(A\) 变为 \(U\)，如果 \(A\) 是不可逆的，那么 \(U\) 中一定有全零行，其行列式为零。如果 \(A\) 是可逆的，那么 \(U\) 中的对角线为主元，其行列式为对角线的乘积，也即主元的乘积。

如果 \(PA=LU\)，那么有 \(|P| \space |A| = |L| \space |U|\)，\(L\) 为对角线上为 1 的下三角矩阵，因此有 \(det \space L = 1\)，而 \(det \space P = \pm 1\)，所以 \(|A| = \pm|U|\)。

• 性质 9： \(|AB| = |A||B|\)。

\[det(AA^{-1}) = det \space I = 1 \to det \space A^{-1} = \frac{1}{det \space A} \]

一个简单的证明过程如下所示：

• 性质 10： 转置矩阵的行列式不变，\(det \space A^{T} = det \space A\)。

\[|P| \space |A| = |L| \space |U| \leftrightarrow |P^T| \space |A^T| = |L^T| \space |U^T| \]

对比以上两项，置换矩阵的逆等于转置，所以有 \(|P||P^T|=1\)，因此它们同时为 1 或者 -1。对三角矩阵的转置不影响其对角线元素，因此行列式不变，所以有 \(|L| =|L^T|，|U| =|U^T|\)，所以有 \(|A| =|A^T|\)。

因此，任意应用于矩阵的行的性质都可以同时应用到矩阵的列上去。

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