线性代数之——最小二乘

1. 最小二乘

$Ax=b$ 经常会没有解，当方程个数大于未知数个数，也即 $m>n$ 时，列空间并不是 $R^m$ 空间的全部，因此 $b$ 可能不在列空间中，这时候方程组就无解，但我们不应该就此而停止。

也就是误差 $e = b-Ax$ 并不总是能得到 0，这时候，如果误差 $e$ 的长度尽可能的小，那我们就得到了最小二乘解 $\hat x$。

当 $Ax=b$ 无解的时候，我们乘以 $A^T$ 来求解 $A^TAx=A^Tb$。

假如我们要找到一条直线，让它距离 (0, 6) ，(1, 0)，(2, 0) 这三点最近。没有直线 $b = C+Dt$ 同时穿过这三点，我们要找的两个常数 $C$ 和 $D$。

$$\begin{alignedat}{3} &C\quad+ \quad&D&\cdot 0 \quad=\quad 6 \\ &C\quad + \quad&D&\cdot 1 \quad=\quad 0 \\ &C\quad + \quad&D&\cdot 2 \quad=\quad 0 \end{alignedat}$$

$$A = \begin{bmatrix}1&0\\1&1\\ 1&2 \end{bmatrix} \quad x = \begin{bmatrix}C\\D \end{bmatrix} \quad b = \begin{bmatrix}6\\0\\0 \end{bmatrix}$$

由于 $b = (6, 0, 0)$ 不是 $A$ 的列的一个线性组合，因此方程组无解。

$$A^TAx=A^Tb \to \begin{bmatrix}3&3\\3&5\end{bmatrix} \begin{bmatrix}C\\D \end{bmatrix}\begin{bmatrix}6\\0 \end{bmatrix}$$

$$\begin{alignedat}{2} C = 5 \\ D =-3 \end{alignedat}$$

因此，距离这三点最近的一条直线为 $b = 5-3t$。

2. 最小化误差

• 几何理解

任何 $Ax$ 都是 $A$ 的列的一个线性组合，它们都位于以 $A$ 的列为基的一个平面中。因此，我们要找的就是平面中的一个距离 $b$ 最近的向量，而这个向量就是 $b$ 在这个平面中的投影 $p$。

• 代数理解

$Ax=b=p+e$ 是不可解的，但 $A\hat x = p$ 是可解的。我们需要最小化下面这个误差

$$||Ax-b||^2 = ||Ax-p||^2 + ||e||^2$$

当取 $x = \hat x$，$||Ax-p||^2 = 0$，因此最小误差为 $|e||^2$。

• 微积分理解

误差函数可以表示为

两个未知数有两个导数，当导数分别为零时，我们就得到了误差函数的最小值。

整理后我们得到

可以看到，这和 $A^TAx=A^Tb$ 得到的结果是一样的。也就是说当 $A^TAx=A^Tb$ 的时候 $||Ax-b||^2$ 的偏导数为零。

在四个基本子空间中，这次我们将 $b$ 分解为 $b=p+e$，这时候 $A^TAx=A^Tb$ 的零空间解只有零向量，因此最优解只有一个 $A\hat x=p$。

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