图像质量评价指标之 PSNR 和 SSIM

1. PSNR (Peak Signal-to-Noise Ratio) 峰值信噪比

给定一个大小为 $m×n$ 的干净图像 $I$ 和噪声图像 $K$，均方误差 $(MSE)$ 定义为：

$$MSE = \frac{1}{mn}\sum_{i=0}^{m-1}\sum_{j=0}^{n-1}[I(i, j)-K(i,j)]^2$$

然后 $PSNR (dB)$ 就定义为：

$$PSNR = 10 \cdot log_{10}(\frac{MAX_I^2}{MSE})$$

其中 $MAX_I^2$ 为图片可能的最大像素值。如果每个像素都由 8 位二进制来表示，那么就为 255。通常，如果像素值由 $B$ 位二进制来表示，那么 $MAX_I = 2^B-1$。

一般地，针对 uint8 数据，最大像素值为 255,；针对浮点型数据，最大像素值为 1。

上面是针对灰度图像的计算方法，如果是彩色图像，通常有三种方法来计算。

• 分别计算 RGB 三个通道的 PSNR，然后取平均值。
• 计算 RGB 三通道的 MSE ，然后再除以 3 。
• 将图片转化为 YCbCr 格式，然后只计算 Y 分量也就是亮度分量的 PSNR。

其中，第二和第三种方法比较常见。

# im1 和 im2 都为灰度图像，uint8 类型

# method 1
diff = im1 - im2
mse = np.mean(np.square(diff))
psnr = 10 * np.log10(255 * 255 / mse)

# method 2
psnr = skimage.measure.compare_psnr(im1, im2, 255)

compare_psnr(im_true, im_test, data_range=None) 函数原型可见此处

针对超光谱图像，我们需要针对不同波段分别计算 PSNR，然后取平均值，这个指标称为 MPSNR。

2. SSIM (Structural SIMilarity) 结构相似性

$SSIM$ 公式基于样本 $x$ 和 $y$ 之间的三个比较衡量：亮度 (luminance)、对比度 (contrast) 和结构 (structure)。

$$l(x,y) = \frac{2\mu_x \mu_y + c_1}{\mu_x^2+ \mu_y^2 + c_1}$$

$$c(x,y) = \frac{2\sigma_x \sigma_y + c_2}{\sigma_x^2+ \sigma_y^2 + c_2}$$

$$s(x,y) = \frac{\sigma_{xy} + c_3}{\sigma_x \sigma_y + c_3}$$

一般取 $c_3 = c_2 / 2$。

• $\mu_x$ 为 $x$ 的均值
• $\mu_y$ 为 $y$ 的均值
• $\sigma_x^2$ 为 $x$ 的方差
• $\sigma_y^2$ 为 $y$ 的方差
• $\sigma_{xy}$ 为 $x$ 和 $y$ 的协方差
• $c_1 = (k_1L)^2, c_2 = (k_2L)^2$ 为两个常数，避免除零
• $L$ 为像素值的范围，$2^B-1$
• $k_1=0.01, k_2=0.03$ 为默认值

那么

$$SSIM(x, y) = [l(x,y)^{\alpha} \cdot c(x,y)^{\beta} \cdot s(x,y)^{\gamma}]$$

将 $\alpha,\beta,\gamma$ 设为 1，可以得到

$$SSIM(x, y) = \frac{(2\mu_x \mu_y + c_1)(2\sigma_{xy}+c_2)}{(\mu_x^2+ \mu_y^2 + c_1)(\sigma_x^2+\sigma_y^2+c_2)}$$

每次计算的时候都从图片上取一个 $N×N$ 的窗口，然后不断滑动窗口进行计算，最后取平均值作为全局的 SSIM。

# im1 和 im2 都为灰度图像，uint8 类型
ssim = skimage.measure.compare_ssim(im1, im2, data_range=255)

compare_ssim(X, Y, win_size=None, gradient=False, data_range=None, multichannel=False, gaussian_weights=False, full=False, **kwargs) 函数原型可见此处

针对超光谱图像，我们需要针对不同波段分别计算 SSIM，然后取平均值，这个指标称为 MSSIM。

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