数学之美 - 随笔分类 - seniusen

摘要：为了完整地展示线性代数，我们必须包含复数。即使矩阵是实的，特征值和特征向量也经常会是复数。 1. 虚数回顾虚数由实部和虚部组成，虚数相加时实部和实部相加，虚部和虚部相加，虚数相乘时则利用

i^{2} = 1

$i^2= 1$ 。在虚平面，虚数

3 + 2 i

$3+2i$ 是位于坐标

(3, 2)

$(3, 2)$ 的一个点。复数 $z=a+bi 阅读全文

posted @ 2019-11-29 14:03 seniusen 阅读(13636) 评论(0) 推荐(0) 编辑

线性代数之——矩阵范数和条件数

摘要：1. 矩阵范数我们怎么来衡量一个矩阵的大小呢？针对一个向量，它的长度是

| | x | |

$||\boldsymbol x||$ 。针对一个矩阵，它的范数是

| | A | |

$||A||$ 。有时候我们会用向量的范数来替代长度这个说法，但对于矩阵我们只说范数。有很多方式来定义矩阵的范数，我们来看看所有范数的的要求然后选择其中一个。 F 阅读全文

posted @ 2019-11-29 13:59 seniusen 阅读(3661) 评论(0) 推荐(0) 编辑

线性代数之——傅里叶级数

摘要：这部分我们从有限维扩展到无限维，在无限维空间中线性代数依然有效。首先，我们来回顾一下，我们一开始是以向量、点积和线性组合进行展开的。现在我们开始将这些基本的概念转化到无限维的情况，然后再继续深入探索。一个向量有无限多的元素是什么意思呢？有两种答案，都非常好。向量变成 $\boldsymbol v 阅读全文

posted @ 2019-11-26 22:07 seniusen 阅读(1161) 评论(0) 推荐(0) 编辑

线性代数之——马尔科夫矩阵

摘要：这一部分我们关注正的矩阵，矩阵中的每个元素都大于零。一个重要的事实：最大的特征值是正的实数，其对应的特征向量也如是。最大的特征值控制着矩阵

A

$A$ 的乘方。假设我们用

A

$A$ 连续乘以一个正的向量

u_{0} = (a, 1 a)

$\boldsymbol u_0=(a, 1 a)$ ，

k

$k$ 步后我们得到 $A^k\bold 阅读全文

posted @ 2019-11-26 22:05 seniusen 阅读(3384) 评论(0) 推荐(0) 编辑

线性代数之——图和网络

摘要：1. 图一个图由一系列节点以及连接它们的边组成，关联矩阵（incidence matrix）则告诉我们

n

$n$ 个顶点是怎么被

m

$m$ 条边连接的。关联矩阵中的每个元素都是 0,1 或者 1，在消元过程中这也依然成立，所有的主元和乘数都是

\pm 1

$\pm1$ 。因此分解

A = L U

$A=LU$ 也只包含 0,1 阅读全文

posted @ 2019-11-26 22:03 seniusen 阅读(943) 评论(0) 推荐(0) 编辑

线性代数之——对角化和伪逆

摘要：这部分我们通过选择更好的基底来产生更好的矩阵。当我们的目标是对角化矩阵时，一个选择可以是一组特征向量基底，另外一个选择可以是两组基底，输入基底和输出基底是不一样的。这些左右奇异向量是矩阵四个基本子空间中标准正交的基向量，它们来自于 SVD。事实上，所有对

A

$A$ 的分解都可以看作是一个基的改变。在阅读全文

posted @ 2019-11-26 22:00 seniusen 阅读(892) 评论(0) 推荐(0) 编辑

线性代数之——基变换矩阵

摘要：1. 恒等变换现在让我们来找到这个特殊无聊的变换

T (v) = v

$T(\boldsymbol v)=\boldsymbol v$ 对应的矩阵。这个恒等变换什么都没有做，对应的矩阵是恒等矩阵，如果输出的基和输入的基一样的话。如果 $T(\boldsymbol v_j)=\boldsymbol v_j = \bo 阅读全文

posted @ 2019-11-24 22:50 seniusen 阅读(2732) 评论(0) 推荐(0) 编辑

线性代数之——线性变换及对应矩阵

摘要：1. 线性变换的概念当一个矩阵

A

$A$ 乘以一个向量

v

$\boldsymbol v$ 时，它将

v

$\boldsymbol v$ 变换到另一个向量

A v

$A\boldsymbol v$ 。进来的是

v

$\boldsymbol v$ ，出去的是 $T( \boldsymbol v) = A\boldsymbo 阅读全文

posted @ 2019-11-24 22:46 seniusen 阅读(3572) 评论(1) 推荐(0) 编辑

线性代数之——SVD 分解

摘要：SVD 分解是线性代数的一大亮点。 1. SVD 分解

A

$A$ 是任意的

m \times n

$m×n$ 矩阵，它的秩为

r

$r$ ，我们要对其进行对角化，但不是通过

S^{1} A S

$S^{ 1}A S$ 。

S

$S$ 中的特征向量有三个大问题：它们通常不是正交的；并不总是有足够的特征向量；

A x = λ x

$Ax=\lambda x$ 需要

A

$A$ 是一个方阅读全文

posted @ 2019-11-24 22:45 seniusen 阅读(2415) 评论(0) 推荐(0) 编辑

线性代数之——相似矩阵

摘要：当

A

$A$ 有足够的特征向量的时候，我们有

S^{1} A S = Λ

$S^{ 1}AS=\Lambda$ 。在这部分，

S

$S$ 仍然是最好的选择，但现在我们允许任意可逆矩阵

M

$M$ ，矩阵

A

$A$ 和

M^{1} A M

$M^{ 1}AM$ 称为相似矩阵，并且不管选择哪个

M

$M$ ，特征值都保持不变。 1. 相似矩阵假设

M

$M$ 是任意的可逆阅读全文

posted @ 2019-11-24 10:11 seniusen 阅读(3447) 评论(0) 推荐(0) 编辑

线性代数之——正定矩阵

摘要：这部分我们关注有正特征值的对称矩阵。如果对称性使得一个矩阵重要，那么所有特征值大于零这个额外属性则让这个矩阵真正特殊。但我们这里的特殊并不是稀少，事实上在各种应用中具有正特征值的对称矩阵非常常见，它们被称作正定矩阵。我们可以通过检查特征值是否大于零来识别正定矩阵，但计算特征值是一项工作，当我们阅读全文

posted @ 2019-11-24 09:52 seniusen 阅读(4494) 评论(0) 推荐(0) 编辑

均匀分布的公交站等车问题

摘要：小森在公交站等车，有三路公交车均可乘坐到达目的地。A 公交车到站的时间为 0 到 10 分钟内的任一时间点，且服从 [0, 10] 的均匀分布。同样地，B 公交车到站的时间为 0 到 20 分钟内的任一时间点，C 公交车到站的时间为 0 到 30 分钟内的任一时间点。求问小森的平均等车时间？ 1. 阅读全文

posted @ 2019-04-23 12:42 seniusen 阅读(2952) 评论(0) 推荐(0) 编辑

线性代数之——对称矩阵及正定性

摘要：当

A

$A$ 是对称的时候，

A x = λ x

$Ax=\lambda x$ 有什么特殊的呢？ 1. 对称矩阵的分解

A = S Λ S^{1}

$A = S\Lambda S^{ 1}$

A^{T} = (S^{1})^{T} Λ S^{T}

$A^T = (S^{ 1})^T\Lambda S^{T}$ 如果

A

$A$ 是对称矩阵，也就是

A = A^{T}

$A=A^T$ 。对比以上两个式子，我们可以得到 $S^ 阅读全文

posted @ 2018-11-29 20:35 seniusen 阅读(4797) 评论(0) 推荐(0) 编辑

线性代数之——微分方程和 exp(At)

摘要：本节的核心是将常系数微分方程转化为线性代数问题。

\frac{d u}{d t} = λ u 的 解 为 u (t) = C e^{λ t}

$\frac{du}{dt}=\lambda u \quad 的解为 \quad u(t) = Ce^{\lambda t}$ 代入

t = 0

$t=0$ ，可得

u (0) = C

$u(0) = C$ ，因此有

u (t) = u (0) e^{λ t}

$u(t) = u(0)e^{\lambda t}$ 。这是只有一阅读全文

posted @ 2018-11-29 10:50 seniusen 阅读(4243) 评论(0) 推荐(0) 编辑

线性代数之——对角化和 A 的幂

摘要：利用特征向量的属性，矩阵

A

$A$ 可以变成一个对角化矩阵

Λ

$\Lambda$ 。 1. 对角化假设一个

n \times n

$n×n$ 的矩阵

A

$A$ 有

n

$n$ 个线性不相关的特征向量

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\cdots,x_n$ ，把它们作为特征向量矩阵

S

$S$ 的列，那么就有

S^{1} A S = Λ

$S^{ 1}AS=\Lambda$ 。矩阵 $ 阅读全文

posted @ 2018-11-29 10:48 seniusen 阅读(1413) 评论(0) 推荐(0) 编辑

线性代数之——特征值和特征向量

摘要：线性方程

A x = b

$Ax=b$ 是稳定状态的问题，特征值在动态问题中有着巨大的重要性。

d u / d t = A u

$du/dt=Au$ 的解随着时间增长、衰减或者震荡，是不能通过消元来求解的。接下来，我们进入线性代数一个新的部分，基于

A x = λ x

$Ax=\lambda x$ ，我们要讨论的所有矩阵都是方阵。 1. 特征值和特征向量几乎所有的向量阅读全文

posted @ 2018-11-27 22:55 seniusen 阅读(15298) 评论(0) 推荐(0) 编辑

线性代数之——克拉默法则、逆矩阵和体积

摘要：1. 克拉默法则这部分我们通过代数方法来求解

A x = b

$Ax=b$ 。用

x

$x$ 替换单位矩阵的第一列，然后再乘以

A

$A$ ，我们得到一个第一列为

b

$b$ 的矩阵，而其余列则是从矩阵

A

$A$ 中对应列直接拷贝过来的。利用行列式的乘法法则，我们有

| A | (x_{1}) = | B_{1} |

$|A|(x_1)=|B_1|$ 如果我们想要求 $x_ 阅读全文

posted @ 2018-11-27 22:53 seniusen 阅读(3141) 评论(0) 推荐(0) 编辑

线性代数之——行列式公式及代数余子式

摘要：计算机通过主元来计算行列式，但还有另外两种方法，一种是大公式，由

n!

$n!$ 项置换矩阵组成；另一种是代数余子式公式。主元的乘积为

2 \frac{3}{2} \frac{4}{3} \frac{5}{4} = 5

$2 \frac{3}{2} \frac{4}{3} \frac{5}{4} = 5$ 。大公式有

4! = 24

$4!=24$ 项，但只有 5 个非零项。 $$det A = 16 阅读全文

posted @ 2018-11-27 22:50 seniusen 阅读(10902) 评论(0) 推荐(0) 编辑

线性代数之——行列式及其性质

摘要：方阵的行列式是一个数字，这个数字包含了矩阵的大量信息。首先，它立即告诉了我们这个矩阵是否可逆。矩阵的行列式为零的话，矩阵就没有逆矩阵。当

A

$A$ 可逆的时候，其逆矩阵

A^{1}

$A^{ 1}$ 的行列式为

1 / d e t (A)

$1 / det(A)$ 。行列式可以用来求逆矩阵、计算主元和求解方程组，但是我们很少这样做，因为消元阅读全文

posted @ 2018-11-26 21:48 seniusen 阅读(8102) 评论(1) 推荐(0) 编辑

线性代数之——正交矩阵和 Gram-Schmidt 正交化

摘要：这部分我们有两个目标。一是了解正交性是怎么让

\hat{x}

$\hat x$ 、

p

$p$ 、

P

$P$ 的计算变得简单的，这种情况下，

A^{T} A

$A^TA$ 将会是一个对角矩阵。二是学会怎么从原始向量中构建出正交向量。 1. 标准正交基向量

q_{1}, \dots, q_{n}

$q_1, \cdots, q_n$ 是标准正交的，如果它们满足如下条件： $$q_i 阅读全文

posted @ 2018-11-26 21:46 seniusen 阅读(2138) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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