逻辑斯蒂回归

逻辑斯蒂回归（logistic regression，又称“对数几率回归”）是经典的分类方法。虽然名字中包含回归，但它被用来分类。

逻辑斯蒂分布

设 $X$ 是随机变量，$X$ 服从逻辑斯蒂分布是指 $X$ 的概率分布函数 $F(x)$ 和概率密度函数 $f(x)$ 为：

$$F(x) = P(X \le x) = \frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/ \gamma}}$$

$$f(x) = F'(x) = \frac{e^{-(x-\mu)/ \gamma}}{\gamma(1+e^{-(x-\mu)/\gamma})^2}$$

其中，$\mu$ 是位置参数，$\gamma > 0$ 是形状参数。密度函数 $f(x)$ 和分布函数 $F(x)$ 的图形如下所示：


可以看到，分布函数 $F(x)$ 是一条 S 型曲线，该曲线在两边增长较缓，而中心增长较快。$\mu$ 控制着曲线的位置，$F(x)$ 关于 $(\mu, \frac{1}{2})$ 中心对称，而 $\gamma$ 则控制曲线的形状，$\gamma$ 越小，曲线在中心附近增长的越快。 ## 二项逻辑斯蒂回归模型 **二项逻辑斯蒂回归（binomial logistic regression model）**是一种**分类**模型，二项代表该模型被用来进行二类分类。二项逻辑斯蒂回归由条件概率 $P(Y|X)$ 表示，其中随机变量 $X$ 的取值为实数，随机变量 $Y$ 的取值为 0 或 1 。通过训练数据（监督学习）来估计模型的参数，从而确定模型。 ### 二项逻辑斯蒂回归的定义 二项逻辑斯蒂回归是如下的条件概率分布：

$$P(Y=1|X) = \frac{exp(w \cdot x +b)}{1+exp(w \cdot x +b)} \tag{1}$$

$$P(Y=0|X) = \frac{1}{1+exp(w \cdot x + b)} \tag{2}$$

其中， $x \in \mathbb{R}^n$ 是一个 n 维向量，为输入，$w \in \mathbb{R}^n$ 和 $b \in \mathbb{R}$ 为参数，$w$ 被称为权值向量， $b$ 被称为偏置，$w \cdot x$ 为两者的內积。
对于给定的输入实例 $x$， 可以根据(1)(2)两式计算出两个概率 $P(Y=1|X)$ 和 $P(Y=0|X)$，比较两个概率的大小，将实例 $x$ 分到概率较大的那一类。
有时，为了方便，可以对 $w$ 和 $x$ 进行扩充，扩充后 $w= (w^1,w^2,...,w^n,b)$，$x=(x^1,x^2,...,x^n,1)$，这样$w \cdot x$ 就相当于扩充前的 $w \cdot x+ b$，所以式（1）（2）可以改写为：

$$P(Y=1|X) = \frac{exp(w \cdot x)}{1+exp(w \cdot x)} \tag{3}$$

$$P(Y=0|X) = \frac{1}{1+exp(w \cdot x )} \tag{4}$$

可以看到，当线性函数 $w \cdot x$ 的值越接近于正无穷，概率值就越接近于 1 ；线性函数值越接近于负无穷，概率就越接近于 0 ，这与前面 $F(x)$ 的图像一致，所以该模型就是逻辑斯蒂回归模型。

模型的参数估计

给定训练集 $T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)\}$，其中$x_i \in \mathbb{R}^n$，$y_i \in \{0,1\}$，可以使用极大似然估计法来估计模型的参数 $w$，从而得到逻辑斯蒂回归模型。步骤如下：
假设：

$$P(Y=1|x)=\pi(x), \quad P(Y=0|x)=1-\pi(x)$$

似然函数为：

$$\prod_{i=1}^N[\pi(x_i)]^{y_i}[1-\pi(x_i)]^{1-y_i}$$

对数似然函数为：


对 $L(w)$ 求极大值，就得到了 $w$ 的估计值。 这样，问题就变成了求以对数似然函数为目标函数的最优化问题，逻辑斯蒂回归学习通常使用梯度下降法和拟牛顿法。 假设估计的参数值为 $\hat w$，则学到的二项逻辑斯蒂回归模型为：

$$P(Y=1|X) = \frac{exp(\hat w \cdot x)}{1+exp(\hat w \cdot x)}$$

$$P(Y=0|X) = \frac{1}{1+exp(\hat w \cdot x )}$$

多项逻辑斯蒂回归

可以将二项逻辑斯蒂回归推广到多项逻辑斯蒂回归。假设随机变量 $Y$ 的取值集合为 $\{0, 1, ..., K\}$，则多项逻辑斯蒂回归的模型就是：


其中，$x \in \mathbb{R}^{n+1}$，$w_k \in \mathbb{R}^{n+1}$。 同样可以使用极大似然估计来估计模型中的参数。 ## 逻辑斯蒂回归的实现 这里使用python库`scikit-learn`来实现逻辑斯蒂回归，使用的方法为`sklearn.linear_model.SGDClassifier`，该方法使用梯度下降来实现逻辑斯蒂回归，函数的使用方法和参数含义可以参考[文档](http://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.linear_model.SGDClassifier.html#sklearn.linear_model.SGDClassifier)。 训练数据如下： ``` 1,0,0,1,0 1,0,0,2,0 1,1,0,2,1 1,1,1,1,1 1,0,0,1,0 2,0,0,1,0 2,1,1,2,0 2,1,1,2,1 2,0,1,3,1 2,0,1,3,1 3,0,1,3,1 3,0,1,2,1 3,1,0,2,1 3,1,0,3,1 3,0,0,1,0 ``` 数据来自贷款信息，每一行代表一个实例（贷款人）。数据共分为5列，前4列为属性值，分别是年龄（1青年，2中年，3老年）、是否有房子（0没房子，1有房子）、是否有工作（0没工作，1有工作）和信用值（1,2,3分别是信用一般，好，非常好），最后一列为类别（0代表没有贷款资格，1代表有贷款资格）。目标是训练出一个逻辑斯蒂回归模型，输入新的实例，判断该实例是否有贷款资格。将上面的数据保存到`data.txt`，代码如下： ```python import numpy as np import pandas as pd from sklearn import linear_model

df = pd.read_csv("D:\data.txt", header=None)

属性值

xdata = df.loc[:,:3]

类别

ydata = df.loc[:,4]

clf = linear_model.SGDClassifier(loss="log", max_iter=1000) #log代表logistic
clf.fit(xdata, ydata)

青年人、没工作、有房子、信用好

clf.predict(np.array([1,0,1,1]).reshape(1,-1))

输出：

array([0], dtype=int64)

`0`代表该申请人没有贷款资格。  
除了这个方法外，还可以使用[sklearn.linear_model.LogisticRegression](http://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.linear_model.LogisticRegression.html)以及[sklearn.linear_model.LogisticRegressionCV](http://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.linear_model.LogisticRegressionCV.html#sklearn.linear_model.LogisticRegressionCV)来实现逻辑斯蒂回归。
## 总结
逻辑斯蒂回归模型是一种经典的分类模型，它根据条件概率的取值来对实例进行分类。可以使用极大似然估计来估计模型中的参数 $w$ 。
## 参考
1、李航《统计学习方法》