并查集
一、定义
并查集是一种树形的数据结构，用于处理一些不相交集合的合并以及查询问题。
二、操作
1、void make_set(int n)
含义：有n个元素，把这n个元素初始化成n个集合，每个集合包含1个元素。
2、int find_root(int x)
含义：查找元素x所在的集合，返回集合的根结点。通过查找两个元素的根结点是否相同，可以判断两个元素是否属于同一个集合。
3、void union_set(int a, int b)
含义：合并两个不相交的集合。
三、举例
假设有3个元素，编号分别为1,2,3，则进行初始化make_set后，这3个元素形成了3个集合{1},{2},{3},集合之间互不相交，对应的树如下图所示：
可以看到3个元素形成了3颗独立的树，每颗树只包含一个根结点。我们使用数组p[x]来表示结点x的父结点，若x为根结点，则令p[x]=-1（或者令p[x]=x），所以有p[1]=-1,p[2]=-1,p[3]=-1。合并集合则是将一棵树的根结点变成另一颗树的孩子结点，合并集合{1},{2}后，对应的数如下所示：
此时有p[1]=-1,p[2]=1,p[3]=-1。再将集合{3}与集合{1,2}合并，则有
此时p[1]=-1，普p[2]=1,p[3]=1，3个集合最终合并成了一个集合。
四、优化
并查集最初的状态时一个个不相交的集合，如果只是简单的合并而不采取任何优化，那么树高可能会不断增加，最坏的情况是一棵树退化成了一条链，树高越高，查找根结点所花费的时间也就越长,我们希望树应该尽可能的低（两层），可以使用下面两种方法来进行优化：
1、路径压缩
在查找某结点x的根结点的过程中，将结点x与根结点和x之间的所有结点都直接指向根结点，这就是路径压缩。如下图：
代码实现（递归）：
//查找根结点时路径压缩，递归实现 int find_root(int x) { if(p[x] == -1) return x; else { int t = find_root(p[x]); p[x] = t; return t; } }
代码实现（非递归）：
//查找根结点时路径压缩，非递归实现 int find(int x) { int k, j, r; r = x; while(r != p[r]) //查找跟节点 r = p[r]; //找到跟节点，用r记录下 k = x; while(k != r) //非递归路径压缩操作 { j = [k]; //用j暂存parent[k]的父节点 p[k] = r; //parent[x]指向跟节点 k = j; //k移到父节点 } return r; //返回根节点的值 }
2、按秩合并
按秩合并即将元素少的集合合并到元素多的集合中，这样有利于降低树高。
五、代码实现
假设有n个元素，编号为1~n，现在输入这n个元素中的m个元素，输出最终建立的树中每个结点的父结点。
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <vector> 4 using namespace std; 5 6 const int N = 1000; 7 int p[N]; 8 vector<int> v; //存储输入的元素编号 9 10 int make_set(int n) 11 { 12 for(int i=1; i<=n; i++) 13 p[i] = -1; //初始化，每个结点为一棵树 14 } 15 16 int find_root(int x) 17 { 18 if(p[x] == -1) 19 return x; 20 else 21 { 22 int t = find_root(p[x]); //路径压缩 23 p[x] = t; 24 return t; 25 } 26 } 27 28 void union_set(int a, int b) 29 { 30 int ra = find_root(a); 31 int rb = find_root(b); 32 33 if(ra != rb) //a，b不在同一集合中，合并 34 p[ra] = rb; 35 } 36 37 int main() 38 { 39 int n, m; 40 scanf("%d%d",&n,&m); 41 make_set(n); 42 int a, b; 43 scanf("%d", &a); 44 v.push_back(a); 45 for(int i=1;i<m;i++) 46 { 47 scanf("%d", &b); 48 v.push_back(b); 49 union_set(a, b); 50 a = b; 51 } 52 53 for(int i=0; i<v.size(); i++) 54 printf("p[%d]=%d\n", v[i], p[v[i]]); 55 return 0; 56 }
输入：
3 3 1 2 3
输出：
p[1]=2 p[2]=3 p[3]=-1
六、带权并查集
普通并查集只包含了结点与结点之间是否属于同一集合的信息，而带权并查集则加入了一个数组r[x]，记录了结点x与其父结点之间的信息（通常情况下），比如是否是同一类，有了多余的信息r[x]相当于结点x有了权值，这也是“带权”的含义。在进行路径压缩find_set和合并union_set时，r[]也要进行相应的变化，按秩合并就是带权并查集的一个应用。
七、例题
