对小波变换中DWT和CWT的理解

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http://blog.sina.com.cn/s/blog_633750d90100hbco.html

连续小波变换的概念、操作、及时间尺度图的显示
 最近很多网友问到关于连续小波变换的诸多问题，我用了点时间，写了个底层程序，提供给大家参考。

1。连续小波的概念。就是把一个可以称作小波的函数（从负无穷到正无穷积分为零）在某个尺度下与待处理信号卷积。改变小波函数的尺度，也就改变了滤波器的带通范围，相应每一尺度下的小波系数也就反映了对应通带的信息。本质上，连续小波也就是一组可控制通带范围的多尺度滤波器。

2。连续小波是尺度可连续取值的小波，里面的a一般取整数，而不像二进小波a取2的整数幂。从连续小波到二进小波再到正交离散小波，其实就是a、b都连续，a不连续、b连续，a、b都不连续的过程。操作他们的快速算法也就是卷积(快速傅里叶)，多孔(a trous)，MALLAT。在MATLAB里，也就是CWT，SWT，DWT。SWT称平稳小波变换、二进小波变换、或者非抽取小波变换。

3。从冗余性上：CWT>SWT>DWT，前面两个都冗余，后面的离散小波变换不冗余。

4。从应用上：CWT适合相似性检测、奇异性分析；SWT适合消噪，模极大值分析；DWT适合压缩。

5。操作。就是在某个尺度上得到小波的离散值和原信号卷积，再改变尺度重新得到小波的离散值和原信号卷积。每一个尺度得到一个行向量存储这个尺度下的小波系数，多个尺度就是一个矩阵，这个矩阵就是我们要显示的时间-尺度图。

6。显示。“不要认为工程很简单”。我的一个老师说过的话。小波系数的显示还是有技巧的。很多人画出的图形“一片乌黑”就是个例子。第一步，一般将所有尺度下的小波系数取模；第二步，将每个尺度下的小波系数范围作映射，映射到你指定MAP的范围，比如如果是GRAY，你就映射到0-255；第三步，用IMAGE命令画图；第四步，设置时间和尺度坐标。MATLAB是个很专业的软件，它把这些做的很好，但也就使我们懒惰和糊涂，我是个好奇心重的人就研究了下。里面有个巧妙的函数把我说的(1,2)两个步骤封装在了一起，就是WCODEMAT，有兴趣的同学可以看看。

希望大家深入研究小波。

这里，还有要说的是，小波目前理论的热点：
1。不可分的小波或者具有可分性质的方向性小波；
2。XLET: CONTOURLET, WEDGELET, SHEARLET, BANDELET, RIDGELET, CURVELET; PLATELET.
3。多分辨率分析+多尺度几何分析的结合，才真正是我们所需要的。比如小波域的WEDGELET等等。

最后，几点建议：
1。理论研究和实际应用不同，工程上很多问题小波并不是最好的，在做项目的时候大家要实际情况，实际对待。
2。做研究，有些话题太成熟了，对于小波本身几乎很难再做下去，要在方向性和几何性上下功夫。对此，我也做的工作很少，毕竟研究方向转了。
3。看看DAUBECHIES，MALLAT，Minh N. Do的personal web，特别是preprint的文章，会有些启发。
4。最终大家还是最好自己提一些新的XLET或算法出来，这样才是有挑战性的工作，否则我们永远是落后的。
5。交叉领域和结合是值得做的，最近R2007也就增加了PCA+WAVELET等内容，还有用小波在数值分析领域求解偏微分等，多尺度现在是个很热的东西，SIAM为此都开了专门的期刊，这是数值分析最前沿的期刊可以看看。还有ELSEVIER的Applied and Computational Harmonic Analysis，这些虽然数学多了一点，但毕竟才有可能在工程上是“新”的。

大家可以到我的网站下载到.m文件
http://cem.ahu.edu.cn/Freecode/freecode.htm

各位共勉！！！

安徽大学 沙威
2007年9月5日
% 编程人 沙威 安徽大学
% ws108@ahu.edu.cn

function CWT_EXE();
% 多个尺度连续小波变换的实现
clc;clear

% 下载信号
load vonkoch
vonkoch=vonkoch(1:510);

% 尺度1-32的连续小波变换
S_Min=1;S_Max=32;

index=0;
for scale=S_Max:-1:S_Min;
index=index+1;
cwt_coef(index,:)=CWT_FUNCTION(scale,32*(scale),vonkoch);
end

% 小波系数取模
cwtcoef_abs=abs(cwt_coef);

% 显示
for index=S_Min:S_Max
max_coef=max(cwtcoef_abs(index,:)); % 系数模最大
min_coef=min(cwtcoef_abs(index,:)); % 系数模最小
ext=max_coef-min_coef; % 系数模跨度
cwtcoef_abs(index,:)=64*(cwtcoef_abs(index,:)-min_coef)/ext; % 系数大小变换
end

figure(1)

subplot(2,1,1);
plot(vonkoch);
xlabel('时间')
ylabel('幅度')
title('分形信号')
axis([1 510 0 0.02])

subplot(2,1,2)
colormap(pink(64));
image(cwtcoef_abs)
set(gca,'YTick',2:3:32)
set(gca,'YTickLabel',32:-3:2)
title('连续小波变换时间尺度图')
xlabel('时间')
ylabel('尺度')

% 某个尺度的连续小波变换的M函数

% delta 小波变换的尺度
% N 小波函数的长度
% s 原始信号
% g 原始信号某个尺度下的小波变换系数

function g=CWT_FUNCTION(delta,N,s);

% 原始信号长度
n=length(s);

% 构造墨西哥帽子小波函数
for index_x=1:N;
x=index_x-(N+1)/2;
phi_x(index_x)=((pi^(-1/4))*(2/sqrt(3)))*(1-x.*x/(delta^2))*exp(-(x.*x)/(2*delta^2));
end;
phi_x=phi_x/norm(phi_x); % 能量归一化

% 对信号做卷积
g=conv(s,phi_x); % 卷积
g=wkeep(g,n); % 保持信号长度