【100题】第十一题（二叉树中节点的最大距离）
一，题目：
如果把二叉树看成一个图，父子节点之间的连线看成是双向的（无向图），定义"距离"为两节点之间边的个数。写一个程序，求一棵二叉树中相距最远的两个节点之间的距离。
二，思路
误导思路：不要以为求树的高度。
正确思路：求“图”中任意两个节点之间，相距最远的的两个节点之间的距离。
求解步骤：A，经过根节点，左边最深的点到右边最深的点的距离。
B，不经过根节点，而是左子树或右子树中最大距离，取其大者。
三，图解
情况A: 情况B:
A A
/ \ / \
B C B O
/ \ / \ / \
D E F G C D
/ \
E F
/ \
G H
情况A:最大距离经过顶点D-B-A-C-F（其中之一）
情况B:最大距离不经过顶点G-E-C-B-D-F-H（其中之一）
四，源码
#include "stdio.h"
#include"stdlib.h"
struct NODE
{
NODE* pLeft; // 左子树
NODE* pRight; // 右子树
int nMaxLeft; // 左子树中的最长距离
int nMaxRight; // 右子树中的最长距离
int chValue; // 该节点的值
};
int nMaxLen = 0;
// 寻找树中最长的两段距离
void FindMaxLen(NODE* pRoot)
{
// 遍历到叶子节点，返回
if(pRoot == NULL)
return;
// 如果左子树为空，那么该节点的左边最长距离为0
if(pRoot -> pLeft == NULL)
pRoot -> nMaxLeft = 0;
// 如果右子树为空，那么该节点的右边最长距离为0
if(pRoot -> pRight == NULL)
pRoot -> nMaxRight = 0;
// 如果左子树不为空，递归寻找左子树最长距离
if(pRoot -> pLeft != NULL)
FindMaxLen(pRoot -> pLeft);
// 如果右子树不为空，递归寻找右子树最长距离
if(pRoot -> pRight != NULL)
FindMaxLen(pRoot -> pRight);
// 计算左子树最长节点距离
if(pRoot -> pLeft != NULL)
{
int nTempMax = 0;
if(pRoot -> pLeft -> nMaxLeft > pRoot -> pLeft -> nMaxRight)
{
nTempMax = pRoot -> pLeft -> nMaxLeft;
}
else
{
nTempMax = pRoot -> pLeft -> nMaxRight;
}
pRoot -> nMaxLeft = nTempMax + 1;
}
// 计算右子树最长节点距离
if(pRoot -> pRight != NULL)
{
int nTempMax = 0;
if(pRoot -> pRight -> nMaxLeft > pRoot -> pRight -> nMaxRight)
{
nTempMax = pRoot -> pRight -> nMaxLeft;
}
else
{
nTempMax = pRoot -> pRight -> nMaxRight;
}
pRoot -> nMaxRight = nTempMax + 1;
}
// 更新最长距离
if(pRoot -> nMaxLeft + pRoot -> nMaxRight > nMaxLen)
{
nMaxLen = pRoot -> nMaxLeft + pRoot -> nMaxRight;
}
}
NODE *createTree()
{
NODE *root;
int data;
printf("input data:");
scanf("%d",&data);
//printf("output data:%d\n",data);
if(data==0)
root=NULL;
else/*根左右 前序建立二叉树*/
{
root=(NODE*)malloc(sizeof(NODE));
root->chValue=data;
root->pLeft=createTree();
root->pRight=createTree();
}
return root;
}
int main()
{
NODE *root;
root=createTree();
FindMaxLen(root);
printf("%d",nMaxLen);
return 0;
}
第二种解法：
这个问题的核心是，情况A 及 B 需要不同的信息: A 需要子树的最大深度，B 需要子树的最大距离。只要函数能在一个节点同时计算及传回这两个信息，代码就可以很简单:
#include <iostream>
using namespace std;
struct NODE
{
NODE *pLeft;
NODE *pRight;
};
struct RESULT
{
int nMaxDistance;
int nMaxDepth;
};
RESULT GetMaximumDistance(NODE* root)
{
if (!root)
{
RESULT empty = { 0, -1 }; // trick: nMaxDepth is -1 and then caller will plus 1 to balance it as zero.
return empty;
}
RESULT lhs = GetMaximumDistance(root->pLeft);
RESULT rhs = GetMaximumDistance(root->pRight);
RESULT result;
result.nMaxDepth = max(lhs.nMaxDepth + 1, rhs.nMaxDepth + 1);
result.nMaxDistance = max(max(lhs.nMaxDistance, rhs.nMaxDistance), lhs.nMaxDepth + rhs.nMaxDepth + 2);
return result;
}
void Link(NODE* nodes, int parent, int left, int right)
{
if (left != -1)
nodes[parent].pLeft = &nodes[left];
if (right != -1)
nodes[parent].pRight = &nodes[right];
}
void main()
{
// P. 241 Graph 3-12
NODE test1[9] = { 0 };
Link(test1, 0, 1, 2);
Link(test1, 1, 3, 4);
Link(test1, 2, 5, 6);
Link(test1, 3, 7, -1);
Link(test1, 5, -1, 8);
cout << "test1: " << GetMaximumDistance(&test1[0]).nMaxDistance << endl;
// P. 242 Graph 3-13 left
NODE test2[4] = { 0 };
Link(test2, 0, 1, 2);
Link(test2, 1, 3, -1);
cout << "test2: " << GetMaximumDistance(&test2[0]).nMaxDistance << endl;
// P. 242 Graph 3-13 right
NODE test3[9] = { 0 };
Link(test3, 0, -1, 1);
Link(test3, 1, 2, 3);
Link(test3, 2, 4, -1);
Link(test3, 3, 5, 6);
Link(test3, 4, 7, -1);
Link(test3, 5, -1, 8);
cout << "test3: " << GetMaximumDistance(&test3[0]).nMaxDistance << endl;
// P. 242 Graph 3-14
// Same as Graph 3-2, not test
// P. 243 Graph 3-15
NODE test4[9] = { 0 };
Link(test4, 0, 1, 2);
Link(test4, 1, 3, 4);
Link(test4, 3, 5, 6);
Link(test4, 5, 7, -1);
Link(test4, 6, -1, 8);
cout << "test4: " << GetMaximumDistance(&test4[0]).nMaxDistance << endl;
}
计算 result 的代码很清楚；nMaxDepth 就是左子树和右子树的深度加1；nMaxDistance 则取 A 和 B 情况的最大值。
为了减少 NULL 的条件测试，进入函数时，如果节点为 NULL，会传回一个 empty 变量。比较奇怪的是 empty.nMaxDepth = -1，目的是让调用方 +1 后，把当前的不存在的 (NULL) 子树当成最大深度为 0。
除了提高了可读性，这个解法的另一个优点是减少了 O(节点数目) 大小的侵入式资料，而改为使用 O(树的最大深度) 大小的栈空间。这个设计使函数完全没有副作用(side effect)。
