【DP】——求最长有序子序列（不要求连续）

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【简介】
最长有序子序列（不要求连续），顾名思义，就是一个序列中，在给你的一个序列中找个子序列，要求是有序的（要么单调递增，要么单调递减）。这是一个很经典的动态规划问题，所以记录下来以作日后复习用，顺便与各位同道共享。

先说个定义吧，对于一个序列X[N]={a[1],a[2],....,a[n]}，如果存在一个序列Z={b[1],b[2],..,b[k]}，其中Z中的各个元素属于X，并且b[1]<b[2]<...<v[k]，那么就是序列Z的一个有序子序列，那么也就是说，这个问题就是在众多的组合中，寻找一种可行的最长的有序的子序列。

煮个栗子吧， 有一个序列{1,3,2,6}，那么它的有序子序列有以下几种情况（不算空集合）：
{1}、{3}、{2}、{6}；
{1,3}、{1,2}、{1,6}、{1,2}、{1,6}、{3,6}、{2,6}；
 {1,3,6}、{1,2,6}；
但是如果要求是最长的，那就是{1,3,6}或者{1,2,6}。

【算法分析】
那这种问题如果用一般的组合方法一个个遍历求解的话，需要多大的时间开销呢？对，是C(1,n)+C(2,n)+..+C(n,n)，是2^n种情况，那就是这种算法的时间复杂度是O(2^n)，指数级的时间复杂度啊有木有！！这样的程序很可能是TLE啊有木有！！

那DP的话能换成多大的时间开销呢？DP一般把时间复杂度控制在多项式时间内，而这个问题用DP解，它的时间复杂度是：O(n^2)，这是我们可以接受的范围内的~~

那么，下面来说说这个算法的基本思路：
（1）、DP一般需要辅助数组来记录之前出现过的某些子问题的最优解，这道题也是一样的，需要两个数组来记录，一个用来记录最优解的位置，另一个用来记录个状态的最优解。设posotion[]记录位置，record[]记录最优解。此外我们增加一个maxNow的变量用于记录当前最长的长度。data[]是原始输入数据。
（2）、现在是写状态转移方程的时候了，我们可以来分析一下，对于第i个状态，我们可以查找前i-1个子问题的最优解，record[i]=max(record[k])+1(data[k]<data[i])，即保持单调递增；在这种情况下如果record[i]大于当前最长长度maxNow，那么就更新maxNow，maxNow+=1；
（3）若maxNow更新了，那它前一个状态的位置记录下来就是position[i]=k；即第k个元素是它的前一个元素，当前位置用一个positionNow记录，那么positionNow=i，最后输出的时候反序输出就OK。

【算法改进】
其实在找max(record[k])会花费大量的时间，所以可以改进一下储存格式然后用二分查找的方法，具体内容等我慢慢参透了然后再记录下来吧！总之可以把时间复杂度缩减到 O(nlogn)！