HDU3944 DP?(大组合数取模：lucas定理)

题意：

有一个杨辉三角，现在从顶点到第n行第k列，只能向下或向右下，问最短路径和模p的值。

要点：

如果n>2*m，此时一直往斜左上走到边界，再一直向上，这样最短，权值总和为C（n+1,m）+（n-m)；如果n<=2*m，就先向上到边界，再斜左上到顶点，这样总和为C(n+1,m+1)+m。

这里n和m很大，所以必须要用lucas定理，需要注意的是Lucas定理处理的p的范围大致为10^5数量级。

这个博客写的还比较清楚：点击打开链接

18302598

2016-09-20 15:33:34

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886 B

G++

seasonal

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll exp_mod(int a,int b,int p)
{
	ll res=1;
	while(b!=0)//利用二进制求乘方 
	{
		if(b&1) res=(res*a)%p;
		a=(a*a)%p;
		b>>=1;
	}
	return res;
} 
ll comb(int a,int b,int p)
{
	if(a<b) return 0;
	if(a==b) return 1;
	if(b>a-b) b=a-b;//组合的性质，n-m和m是相等的
	ll ans=1,ca=1,cb=1;
	for(ll i=0;i<b;++i)
	{
		ca=(ca*(a-i))%p;//这里ca表示n!/(n-m)! 
		cb=(cb*(b-i))%p;
	}
	ans= (ca*exp_mod(cb,p-2,p))%p;//这里对m！求逆元即可 
	return ans;
}
ll lucas(int n,int m,int p)
{
	ll ans=1;
	while(n&&m&&p)
	{
		ans=(ans*comb(n%p,m%p,p))%p;
		n/=p;
		m/=p;
	}
	return ans;
}

int main()
{
	int n,m,p,kase=1;
	while(~scanf("%d%d%d",&n,&m,&p))
	{
		printf("Case #%d: ",kase++);
		if(n>2*m)
			printf("%I64d\n",(lucas(n+1,m,p)+(n-m))%p);
		else
			printf("%I64d\n",(lucas(n+1,m+1,p)+m)%p);		
	}
	return 0;
}