All-Pair Almost Shortest Path(APASP)
问题描述
给定一个n个点m条边的无向无权重的图，找出所有点对之间的近似最短距离。
思路
最简单的方法就是从每个点开始跑BFS了。BFS的时间复杂度是\(O(m)\)的，那么总的时间复杂度就是\(O(nm)\)的。但是如果是稠密图，那\(O(m)=O(n^2)\)，总的时间复杂度就是\(O(n^3)\)了。所以思路就是生成边数比较少的子图，然后加上一些构造出来的边来弥补那些被删掉的边造成的影响，再对得到的图跑最短路，来近似给出完整的图的结果。
随机选点
生成边数比较少的子图时，常用的方法是在图中随机选一些点，使得度数\(\ge d\)的点大概率与某个选出来的点相邻。
假设每个点被选中的概率为\(1/k\)，那么一个度数为d的点的邻居中，有一个点被选中的概率就是\(1 - (1 - 1/k)^d\)。可以证明只要随机选出\(\tilde{O}(n/d)\)个点即可（我不会证明）。其中\(\tilde{O}(n)\)表示\(O(n\ log^c(n))\)，其中\(c\)为常数。
两层图：\(\tilde{O}(n^{5/2})\)
设\(V_1\)为度数\(\ge n^{1/2}\)的点的集合。我们随机选出\(\tilde{O}(n^{1/2})\)个点\(D_1\)，使得所有\(V_1\)中的点高概率与\(D_1\)中的某个点相邻。
令\(E_2\)为满足\(u\not\in V_1\)或\(v\not\in V_1\)的边(u, v)组成的边集。这样\(E_2\)就相当于我们生成的边数比较少的子图了。由于其中的每条边的两个端点中，其中一方的度数必小于\(n^{1/2}\)，也就是说，我们遍历所有的度数\(n^{1/2}\)的点发出的边，即可遍历到所有的边，然后这样的点的个数最多是n，所以总的边数\(|E_2| \le n\cdot n^{1/2} = n^{3/2}\)。
我们在这个子图里对每个点跑BFS的话，对于点对(u, v)，假如u和v以及它们的最短路径上所有的点的度数都小于\(n^{1/2}\)，那么就可以求出来。但是如果路径上存在某个度数\(\ge n^{1/2}\)的点w（有可能是u或v本身），使得最短路径上某条边可能不在\(E_2\)里，我们怎么估计出原图中u和v的最短路呢？
注意到w高概率与\(D_1\)中的某个点w'相邻，所以考虑用w'为跳板，求出u到w'和w'到v的最短距离。记原图中u和v之间的最短距离为\(\delta(u, v)\)，那么\(\delta(u, w') \le \delta(u, w) + 1\)，\(\delta(w', v) \le \delta(w, v) + 1\)，所以\(\delta(u, v) = \delta(u, w) + \delta(w, v) \le \delta(u, w') + \delta(w', v) + 2\)，即误差最大为2。
所以我们先在原图中对每个\(D_1\)中的点跑一遍BFS，拿到\(D_1\times V\)里每个点对的最短距离，这个时间复杂度为\(\tilde{O}(n^{1/2}\cdot m) = \tilde{O}(n^{5/2})\)。然后往\(E_1\)中加入权重为\(\delta(u, v)\)的从u到v的边，其中\(u\in D_1\)，\(v\in V\)，加入的这些边的集合记为\(\delta(D_1\times V)\)，得到的图则为\(E_1\cup \delta(D_1\times V)\)，其边数仍然为\(O(n^{3/2})\)。然后对得到的图的每个点跑dijkstra，复杂度\(\tilde{O}(n^{5/2})\)，就能得到误差最多为2的每个点对之间的最短路长度了。总的复杂度就是\(\tilde{O}(n^{5/2})\)。
一些想法：上面的描述中，使用\(E_2\)时，我其实加上了u和v的度数都小于\(n^{1/2}\)的假设，这样其实\(E_2\)里只保留两个端点的度数都小于\(n^{1/2}\)的边就好了，然而这样并不能减少\(E_2\)里的边数，而且这样的话，对于相邻的一个度数小于\(n^{1/2}\)，一个度数\(\ge n^{1/2}\)的点，本来可以都在\(E_2\)里求出精确值，但是却非得以\(D_1\)中的点为跳板，导致可能出现误差。
三层图：\(\tilde{O}(n^{7/3})\)
三层图的结构即一个原图，一个2/3的子图，一个1/3的子图，而且由于同样只用了一个中继点，最大的误差仍然为2。
令\(V_1\)为度数\(\ge n^{2/3}\)的点构成的点集。
令\(V_2\)为度数\(\ge n^{1/3}\)的点构成的点集。
令\(D_1\)为随机选出的\(\tilde{O}(n^{1/3})\)个点，这样\(V_1\)里每个点都大概率与一个\(D_1\)中的点相邻。
令\(D_2\)为随机选出的\(\tilde{O}(n^{2/3})\)个点，这样\(V_2\)里每个点都大概率与一个\(D_2\)中的点相邻。
令\(E_2\)为满足\(u\not\in V_1\)或\(v\not\in V_1\)的边(u, v)构成的边集。
令\(E_3\)为满足\(u\not\in V_2\)或\(v\not\in V_2\)的边(u, v)构成的边集。
令\(E^*\)为将每个\(V_2\)中的点连接到一个\(D_2\)中的点的边构成的集合。注意，每个\(V_2\)中的点对应\(E^*\)中的一条边，不然最后的复杂度就不对了。
我们先从\(E_3\)开始考虑。如果我们直接在\(E_3\)上对每个点做BFS，那假如点对(u, v)之间的最短路上所有点（包括u和v）都不属于\(V_2\)，那么求出来的就是精确值。但是，如果路径上存在属于\(V_2\)的点，那么就可能有边不在\(E_3\)中。这时我们考虑引入中继点来弥补。假设w是最后一个属于\(V_2\)的点（可能是v），那么在\(D_2\)中就大概率有一个点w'与w相邻。显然w到v的最短路径上的边都在\(E_3\)里，因此w'到v在\(E_3\cup E^*\)上的最短路径长度最多比w到v的最短路径大1。现在问题转化为如何得到u到w'的无误差最短路长度，即每个\(D_2\times V\)中的点对的最短路径长度。
最简单的方法当然是直接在原图上对每个\(D_2\)中的点跑BFS，但是这样的话复杂度太高了。
其实对于三层的图，有一个很美妙的性质：如果u到v的最短路上存在属于\(V_1\)的点w，那么大概率存在一个\(D_1\)中的点w'，使得w'与w相邻，然后只要我们先对每个\(D_1\)中的点跑BFS，得到边集\(\delta(D_1\times V)\)，然后只要图中加入这个边集，就能得到这种情况下误差最大为2的最短路长度，跟两层图同理。
这样，我们就只需要求解对于\(D_2\times V\)中的点对，两点之间的最短路径上所有点都\(\not\in V_1\)时，最短路径是多少了。我们发现，这些边恰好都在\(E_2\)中。所以我们在\(E_2\)里对每个\(D_2\)中的点跑BFS，得到\(\delta_{E_2}(D_2\times V)\)。算起点为u的最短路径时，只需要把\(\delta_{E_2}(\{u\} \times D_2)\)加入到图中即可，不然复杂度不对。
所以总的流程如下：
- 在原图对每个\(D_1\)中的点跑BFS，得到边集\(\delta(D_1\times V)\)，复杂度\(\tilde{O}(n^{7/3})\)。
- 在\(E_2\)中对每个\(D_2\)中的点跑BFS，得到边集\(\delta_{E_2}(D_2\times V)\)，由于\(|D_2| = \tilde{O}(n^{2/3})\)，\(|E_2| = O(n^{5/3})\)，所以复杂度\(\tilde{O}(n^{7/3})\)。
- 对每个点u，在\(E_3 \cup E^* \cup \delta(D_1\times V) \cup \delta_{E_2}(\{u\} \times D_2))\)中对每个点跑dijkstra。由于\(|E_3| = O(n^{4/3})\)，\(|E^*| = O(n)\)，\(|\delta(D_1\times V)| = \tilde{O}(n^{4/3})\)，\(|\delta_{E_2}(\{u\} \times D_2))| = \tilde{O}(n^{2/3})\)，所以总的边数是\(\tilde{O}(n^{4/3})\)，复杂度是\(\tilde{O}(n^{7/3})\)。
所以最终的复杂度就是\(\tilde{O}(n^{7/3})\)。一切都刚刚好，太妙了orz
推广到多层：\(\tilde{O}(kn^{2+1/k})\)，误差最大为2(k-1)。
分为k层，共k-1个中继节点，所以误差最大为2(k-1)。
令\(V_i\)为度数\(\ge n^{1 - i / k}\)的点构成的集合。\(V_k\)就是所有点的集合\(V\)。
令\(D_i\)为随机选出的\(\tilde{O}(n^{i / k})\)个点，这样每个\(V_i\)中的点都大概率跟某个\(D_i\)中的点相邻。\(D_k = V\)。
令\(E_i\)为满足\(u\not\in V_{i-1}\)或\(v\not\in V_{i-1}\)的边(u, v)构成的边集。
令\(E_i^*\)为将每个\(V_i\)中的点连接到一个\(D_i\)中的点的边构成的集合。
思路：从i = 1到k，每次求出\(D_i\times V\)中每个点对的误差为2(i-1)的最短路径长度，算完到i = k后，就把\(V\times V\)中每个点对的误差为2(k-1)的最短路径长度给算出来了，这就是我们要求的。
i = 1的情况，直接在原图上（即\(E_1\)）对每个\(D_1\)中的点做BFS即可。
i > 1的情况，假如我们在\(E_{i}\)中对每个\(D_i\)中的点跑BFS，那么对于点对(u, v)，假如最短路径上所有点都\(\not\in V_{i-1}\)，那么求出的就是精确值，否则，设w为最后一个属于\(V_{i-1}\)的点，那么大概率存在一个\(w'\in D_{i-1}\)，使得w'与w相邻。从w'到v的最短路径长度可以在\(E_i \cup E_{i-1}^*\)中求出来。然后我们又已知\(D_{i-1} \times V\)中每个点对的误差为2(i-2)的最短路径长度，假设u到\(D_{i-1}\)的最短路径长度构成的边集是\(\delta'(\{u\} \times D_{i-1})\)，那么对每个\(u\in D_i\)，以u为起点，在\(E_i \cup E_{i-1}^* \cup \delta'(\{u\} \times D_{i-1})\)里跑dijkstra即可得到误差最多为2(i-1)的最短路径长度。
因为\(|E_i| = O(n^{2 - (i - 1) / k})\)，\(|E_{i-1}^*| = O(n)\)，\(|\delta'(\{u\} \times D_{i-1})| = \tilde{O}(n^{(i-1)/k})\)，所以跑dijkstra的总边数为\(\tilde{O}(n^{2 - (i - 1) / k})\)，由于\(|D_i| = \tilde{O}(n^{i/k})\)，所以复杂度为\(\tilde{O}(n^{2 + 1 / k})\)。跑k次，总复杂度\(k\tilde{O}(n^{2 + 1 / k})\)。
我的想法：可不可以把三层图里直接把最顶层消掉的方法泛化到这里呢？少一个中继点就可以提高一些精度。
对稀疏图进行优化
注意到，前面的算法在分层的时候只用到了n，但是如果是稀疏图的话，其实高度数的节点是很少的，那其实很多层其实是白分了。所以对稀疏图的优化的思路就是在分层的时候，我们同时用到n和m。论文里给出的分层方法是把原先的\(n^{1-i/k}\)改成\((m/n)^{1-i/k}\)。
对k层图使用这个优化后，\(V_i\)为度数\(\ge (m/n)^{1 - i / k}\)的点构成的集合，\(|D_i| = \tilde{O}(n / (m/n)^{1 - i / k}) = \tilde{O}(n^{2-i/k} / m^{1-i/k})\)，\(|E_i| = O((m/n)^{1 - (i-1) / k}\cdot n) = O(m^{1-(i-1)/k} n^{(i-1)/k})\)，\(|\delta'(\{u\} \times D_{i-1})| = \tilde{O}(n^{(i-1)/k} / m^{1-(i-1)/k})\)。
我们假设\(O(m) \ge O(n)\)，那么\(|E_i \cup E_{i-1}^* \cup \delta'(\{u\} \times D_{i-1})| = \tilde{O}(m^{1-(i-1)/k} n^{(i-1)/k})\)，跑一层的复杂度是\(|D_i| |E_i| = \tilde{O}(n^{2-1/k}m^{1/k})\)，跑k层，复杂度就是\(\tilde{O}(kn^{2-1/k}m^{1/k})\)。由于\(O(m) \le O(n^2)\)，所以这个复杂度永远不会比之前的\(k\tilde{O}(n^{2 + 1 / k})\)更差。
论文：<www.cs.tau.ac.il/~zwick/papers/apasp.ps.gz>
oooooooooooooooooooooooorz
