All-Pair Almost Shortest Path(APASP)

问题描述

给定一个n个点m条边的无向无权重的图，找出所有点对之间的近似最短距离。

思路

最简单的方法就是从每个点开始跑BFS了。BFS的时间复杂度是$O(m)$的，那么总的时间复杂度就是$O(nm)$的。但是如果是稠密图，那$O(m)=O(n^2)$，总的时间复杂度就是$O(n^3)$了。所以思路就是生成边数比较少的子图，然后加上一些构造出来的边来弥补那些被删掉的边造成的影响，再对得到的图跑最短路，来近似给出完整的图的结果。

随机选点

生成边数比较少的子图时，常用的方法是在图中随机选一些点，使得度数$\ge d$的点大概率与某个选出来的点相邻。

假设每个点被选中的概率为$1/k$，那么一个度数为d的点的邻居中，有一个点被选中的概率就是$1-(1-1/k{)}^d$。可以证明只要随机选出$\tilde{O}(n/d)$个点即可（我不会证明）。其中$\tilde{O}(n)$表示$O(nlo{g}^c(n))$，其中$c$为常数。

两层图：$\tilde{O}(n^{5/2})$

设$V_1$为度数$\ge n^{1/2}$的点的集合。我们随机选出$\tilde{O}(n^{1/2})$个点$D_1$，使得所有$V_1$中的点高概率与$D_1$中的某个点相邻。

令$E_2$为满足$u\notin V_1$或$v\notin V_1$的边(u, v)组成的边集。这样$E_2$就相当于我们生成的边数比较少的子图了。由于其中的每条边的两个端点中，其中一方的度数必小于$n^{1/2}$，也就是说，我们遍历所有的度数$n^{1/2}$的点发出的边，即可遍历到所有的边，然后这样的点的个数最多是n，所以总的边数$|E_2|\le n\cdot n^{1/2}=n^{3/2}$。

我们在这个子图里对每个点跑BFS的话，对于点对(u, v)，假如u和v以及它们的最短路径上所有的点的度数都小于$n^{1/2}$，那么就可以求出来。但是如果路径上存在某个度数$\ge n^{1/2}$的点w（有可能是u或v本身），使得最短路径上某条边可能不在$E_2$里，我们怎么估计出原图中u和v的最短路呢？

注意到w高概率与$D_1$中的某个点w'相邻，所以考虑用w'为跳板，求出u到w'和w'到v的最短距离。记原图中u和v之间的最短距离为$\delta (u,v)$，那么$\delta (u,w^{\prime })\le \delta (u,w)+1$，$\delta (w^{\prime },v)\le \delta (w,v)+1$，所以$\delta (u,v)=\delta (u,w)+\delta (w,v)\le \delta (u,w^{\prime })+\delta (w^{\prime },v)+2$，即误差最大为2。

所以我们先在原图中对每个$D_1$中的点跑一遍BFS，拿到$D_1\times V$里每个点对的最短距离，这个时间复杂度为$\tilde{O}(n^{1/2}\cdot m)=\tilde{O}(n^{5/2})$。然后往$E_1$中加入权重为$\delta (u,v)$的从u到v的边，其中$u\in D_1$，$v\in V$，加入的这些边的集合记为$\delta (D_1\times V)$，得到的图则为$E_1\cup \delta (D_1\times V)$，其边数仍然为$O(n^{3/2})$。然后对得到的图的每个点跑dijkstra，复杂度$\tilde{O}(n^{5/2})$，就能得到误差最多为2的每个点对之间的最短路长度了。总的复杂度就是$\tilde{O}(n^{5/2})$。

一些想法：上面的描述中，使用$E_2$时，我其实加上了u和v的度数都小于$n^{1/2}$的假设，这样其实$E_2$里只保留两个端点的度数都小于$n^{1/2}$的边就好了，然而这样并不能减少$E_2$里的边数，而且这样的话，对于相邻的一个度数小于$n^{1/2}$，一个度数$\ge n^{1/2}$的点，本来可以都在$E_2$里求出精确值，但是却非得以$D_1$中的点为跳板，导致可能出现误差。

三层图：$\tilde{O}(n^{7/3})$

三层图的结构即一个原图，一个2/3的子图，一个1/3的子图，而且由于同样只用了一个中继点，最大的误差仍然为2。

令$V_1$为度数$\ge n^{2/3}$的点构成的点集。
令$V_2$为度数$\ge n^{1/3}$的点构成的点集。
令$D_1$为随机选出的$\tilde{O}(n^{1/3})$个点，这样$V_1$里每个点都大概率与一个$D_1$中的点相邻。
令$D_2$为随机选出的$\tilde{O}(n^{2/3})$个点，这样$V_2$里每个点都大概率与一个$D_2$中的点相邻。
令$E_2$为满足$u\notin V_1$或$v\notin V_1$的边(u, v)构成的边集。
令$E_3$为满足$u\notin V_2$或$v\notin V_2$的边(u, v)构成的边集。
令$E^{\ast }$为将每个$V_2$中的点连接到一个$D_2$中的点的边构成的集合。注意，每个$V_2$中的点对应$E^{\ast }$中的一条边，不然最后的复杂度就不对了。

我们先从$E_3$开始考虑。如果我们直接在$E_3$上对每个点做BFS，那假如点对(u, v)之间的最短路上所有点（包括u和v）都不属于$V_2$，那么求出来的就是精确值。但是，如果路径上存在属于$V_2$的点，那么就可能有边不在$E_3$中。这时我们考虑引入中继点来弥补。假设w是最后一个属于$V_2$的点（可能是v），那么在$D_2$中就大概率有一个点w'与w相邻。显然w到v的最短路径上的边都在$E_3$里，因此w'到v在$E_3\cup E^{\ast }$上的最短路径长度最多比w到v的最短路径大1。现在问题转化为如何得到u到w'的无误差最短路长度，即每个$D_2\times V$中的点对的最短路径长度。

最简单的方法当然是直接在原图上对每个$D_2$中的点跑BFS，但是这样的话复杂度太高了。

其实对于三层的图，有一个很美妙的性质：如果u到v的最短路上存在属于$V_1$的点w，那么大概率存在一个$D_1$中的点w'，使得w'与w相邻，然后只要我们先对每个$D_1$中的点跑BFS，得到边集$\delta (D_1\times V)$，然后只要图中加入这个边集，就能得到这种情况下误差最大为2的最短路长度，跟两层图同理。

这样，我们就只需要求解对于$D_2\times V$中的点对，两点之间的最短路径上所有点都$\notin V_1$时，最短路径是多少了。我们发现，这些边恰好都在$E_2$中。所以我们在$E_2$里对每个$D_2$中的点跑BFS，得到${\delta }_{E_2}(D_2\times V)$。算起点为u的最短路径时，只需要把${\delta }_{E_2}(\{u\}\times D_2)$加入到图中即可，不然复杂度不对。

所以总的流程如下：

1. 在原图对每个$D_1$中的点跑BFS，得到边集$\delta (D_1\times V)$，复杂度$\tilde{O}(n^{7/3})$。
2. 在$E_2$中对每个$D_2$中的点跑BFS，得到边集${\delta }_{E_2}(D_2\times V)$，由于$|D_2|=\tilde{O}(n^{2/3})$，$|E_2|=O(n^{5/3})$，所以复杂度$\tilde{O}(n^{7/3})$。
3. 对每个点u，在$E_3\cup E^{\ast }\cup \delta (D_1\times V)\cup {\delta }_{E_2}(\{u\}\times D_2))$中对每个点跑dijkstra。由于$|E_3|=O(n^{4/3})$，$|E^{\ast }|=O(n)$，$|\delta (D_1\times V)|=\tilde{O}(n^{4/3})$，$|{\delta }_{E_2}(\{u\}\times D_2))|=\tilde{O}(n^{2/3})$，所以总的边数是$\tilde{O}(n^{4/3})$，复杂度是$\tilde{O}(n^{7/3})$。

所以最终的复杂度就是$\tilde{O}(n^{7/3})$。一切都刚刚好，太妙了orz

推广到多层：$\tilde{O}(k{n}^{2+1/k})$，误差最大为2(k-1)。

分为k层，共k-1个中继节点，所以误差最大为2(k-1)。

令$V_i$为度数$\ge n^{1-i/k}$的点构成的集合。$V_k$就是所有点的集合$V$。
令$D_i$为随机选出的$\tilde{O}(n^{i/k})$个点，这样每个$V_i$中的点都大概率跟某个$D_i$中的点相邻。$D_k=V$。
令$E_i$为满足$u\notin V_{i-1}$或$v\notin V_{i-1}$的边(u, v)构成的边集。
令$E_i^{\ast }$为将每个$V_i$中的点连接到一个$D_i$中的点的边构成的集合。

思路：从i = 1到k，每次求出$D_i\times V$中每个点对的误差为2(i-1)的最短路径长度，算完到i = k后，就把$V\times V$中每个点对的误差为2(k-1)的最短路径长度给算出来了，这就是我们要求的。

i = 1的情况，直接在原图上（即$E_1$）对每个$D_1$中的点做BFS即可。

i > 1的情况，假如我们在$E_i$中对每个$D_i$中的点跑BFS，那么对于点对(u, v)，假如最短路径上所有点都$\notin V_{i-1}$，那么求出的就是精确值，否则，设w为最后一个属于$V_{i-1}$的点，那么大概率存在一个$w^{\prime }\in D_{i-1}$，使得w'与w相邻。从w'到v的最短路径长度可以在$E_i\cup E_{i-1}^{\ast }$中求出来。然后我们又已知$D_{i-1}\times V$中每个点对的误差为2(i-2)的最短路径长度，假设u到$D_{i-1}$的最短路径长度构成的边集是${\delta }^{\prime }(\{u\}\times D_{i-1})$，那么对每个$u\in D_i$，以u为起点，在$E_i\cup E_{i-1}^{\ast }\cup {\delta }^{\prime }(\{u\}\times D_{i-1})$里跑dijkstra即可得到误差最多为2(i-1)的最短路径长度。

因为$|E_i|=O(n^{2-(i-1)/k})$，$|E_{i-1}^{\ast }|=O(n)$，$|{\delta }^{\prime }(\{u\}\times D_{i-1})|=\tilde{O}(n^{(i-1)/k})$，所以跑dijkstra的总边数为$\tilde{O}(n^{2-(i-1)/k})$，由于$|D_i|=\tilde{O}(n^{i/k})$，所以复杂度为$\tilde{O}(n^{2+1/k})$。跑k次，总复杂度$k\tilde{O}(n^{2+1/k})$。

我的想法：可不可以把三层图里直接把最顶层消掉的方法泛化到这里呢？少一个中继点就可以提高一些精度。

对稀疏图进行优化

注意到，前面的算法在分层的时候只用到了n，但是如果是稀疏图的话，其实高度数的节点是很少的，那其实很多层其实是白分了。所以对稀疏图的优化的思路就是在分层的时候，我们同时用到n和m。论文里给出的分层方法是把原先的$n^{1-i/k}$改成$(m/n{)}^{1-i/k}$。

对k层图使用这个优化后，$V_i$为度数$\ge (m/n{)}^{1-i/k}$的点构成的集合，$|D_i|=\tilde{O}(n/(m/n{)}^{1-i/k})=\tilde{O}(n^{2-i/k}/m^{1-i/k})$，$|E_i|=O((m/n{)}^{1-(i-1)/k}\cdot n)=O(m^{1-(i-1)/k}{n}^{(i-1)/k})$，$|{\delta }^{\prime }(\{u\}\times D_{i-1})|=\tilde{O}(n^{(i-1)/k}/m^{1-(i-1)/k})$。

我们假设$O(m)\ge O(n)$，那么$|E_i\cup E_{i-1}^{\ast }\cup {\delta }^{\prime }(\{u\}\times D_{i-1})|=\tilde{O}(m^{1-(i-1)/k}{n}^{(i-1)/k})$，跑一层的复杂度是$|D_i||E_i|=\tilde{O}(n^{2-1/k}{m}^{1/k})$，跑k层，复杂度就是$\tilde{O}(k{n}^{2-1/k}{m}^{1/k})$。由于$O(m)\le O(n^2)$，所以这个复杂度永远不会比之前的$k\tilde{O}(n^{2+1/k})$更差。

论文：<www.cs.tau.ac.il/~zwick/papers/apasp.ps.gz>

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