误码率仿真,蒙特卡罗方法,置信度

本文将介绍利用蒙特卡罗方法对误码率进行仿真的基本原理和基本原则。

1. 简介

误码率是通信系统性能评价的一个重要指标，在给定信道、编译码方式下，误码率是一个固定取值。少部分情况下，可以通过理论推导得到理论的误码率，但是在大多数情况下，理论误码率无法推得，这时往往考虑采用蒙特卡罗方法对误码率进行仿真。（误比特率、误码率同理）

蒙特卡罗方法是一种通过随机采样获得数值解的一类计算方法。误码率，即给定条件下传输的错误概率，可以近似计算为错误码数和总码数之间的比值，因此很容易通过蒙特卡罗方法求解数值解。其基本原理见下节。

2. 基本原理

参见维基百科，蒙特卡罗方法的基本步骤包括

定义给定域上的所有可能的输入
按照输入的概率分布随机生成给定域上的输入取值
按照指定的计算方法对输入值进行处理
计算结果

那么对应通信系统的误码率仿真而言，具体步骤为

随机产生（满足要求的）明文
利用给定算法进行加密、调制
随机产生（满足要求的）信道噪声
计算接收端接收信号，利用给定算法解调、译码判决
计算误码/帧/比特

至少对于通信系统误码率仿真而言，这一过程是极其简单且容易理解的，可以简单的认为这是真实通信系统的数学等效仿真过程。

3. 精度

一个基本的、重要的问题是，仿真结果到底有多可靠？显然在给定条件下，理论误码率是一个常数，但是每次的仿真结果却不尽相同。假设理论误码率为 $p$ ，蒙特卡罗方法的估计值为 $\hat{p}$ ，那么我们一般关注的是 $p$ 在 $\hat{p}\pm \varepsilon$ 范围内的概率有多大。在回答这个问题之前，首先分析 $\hat{p}$ 的概率分布。有

$\hat{p}=\frac{K}{N}$

其中 $K$ 是错误码字数， $N$ 是总码字数。此处不考虑纠错编码，认为每个码字错误与否和其他码字是独立的。那么对于单个码字来说，服从伯努利分布，出现错误的概率为 $p$ 。则 $K\sim B(N,p)$ ，且有

$\begin{array}{l} E\left( K \right) = N \cdot p\\ VAR\left( K \right) = N \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right) \end{array}$

当 $N$ 足够大时，二项分布近似为高斯分布，因此 $K$ 近似服从均值为 $N \cdot p\\$ ，方差为 $N \cdot p\cdot (1-p)$ 的高斯分布。此时，可以回答以下几个问题

当给定 $N$ 时，仿真得到误码率的可靠程度
指定可靠性要求，计算 $N$ 取值
若 $N$ 足够大， $K$ 的取值为多少，才能使可靠性满足要求

这里先给可靠程度/可靠性做一个定义，即 $p$ 依概率落在区间 $(p-\varepsilon ,p+\varepsilon)$ 上，这个概率被称为置信度 $\alpha$ ，区间为置信区间。一个来自百度百科的简单的介绍为

“在统计学中，一个概率样本的置信区间（Confidence interval）是对这个样本的某个总体参数的区间估计。置信区间展现的是这个参数的真实值有一定概率落在测量结果的周围的程度。置信区间给出的是被测量参数的测量值的可信程度，即前面所要求的“一定概率”。这个概率被称为置信水平。“ ——百度百科

$\begin{array}{l} E\left( {\widehat p} \right) = p\\ VAR\left( {\widehat p} \right) = \frac{{p \cdot \left( {1 - p} \right)}}{N} \end{array}$

据此可推得

$P\left( {\left| {\widehat p - p} \right| < \varepsilon } \right) \approx 2 \cdot \Phi \left( {\frac{{\varepsilon \cdot \sqrt N }}{{\sqrt {p\left( {1 - p} \right)} }}} \right) - 1$

其中 $\Phi (\cdot )$ 是正态分布的累积概率密度。当给定 $N$ 时，给定置信度 $\alpha$ ，可以查表推得精度 $\varepsilon$ ，给定 $\varepsilon$ ，可以计算置信度 $\alpha$ 。同理，另外两个问题也可以得到解决。

4. 举例

当 $N$ 固定时，误码率仿真结果和置信区间（置信度为95%）

其中 $N$ 取值为10000000，式中 $\sqrt{p(1-p)}$ 利用 $\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})}$ 估计。可以看出在BER很小的时候，区间显然过大了。一般来看，我们可能会有两个要求

为了计算在给定BER下的编码增益，需要使得在给定BER下，置信区间满足要求。
满足相对精度要求下 $N$ 的取值。

第一个问题即求 $N$ ，若要使得 $10^{-5}$ 误码率下，精度达到 $10^{-6}$ ，那么

$\frac{\varepsilon \cdot \sqrt{N}}{\sqrt{10^{-5}(1-10^{-5})}}>1.96$

计算得， $N>38415615$ ，此时仿真结果为

第二个问题，若要求 $\varepsilon<p/10$ ，此时有

$\begin{align*} \frac{\varepsilon \cdot \sqrt{N}}{\sqrt{p\cdot (1-p)}} &= \frac{p\cdot \sqrt{N}}{10\cdot\sqrt{p\cdot (1-p)}}\\ &\approx \frac{K}{10\cdot\sqrt{K}\cdot\sqrt{1-p}}\\ &\approx \frac{\sqrt{K}}{10} >1.96 \end{align*}$