条件高斯分布和卡尔曼滤波

这段时间有个卡尔曼滤波的作业，正好在刑波（Eric Xing）的概率图模型课程上也谈到了这一点，所以从这个角度来阐述卡尔曼滤波，同时介绍其中用到的条件高斯分布的推导过程。这一推导过程来自于《模式识别与机器学习》（PRML）。

1. 条件高斯分布

本节要解决的问题是已知，，计算。

按照 $X$ 的划分方法，可以将均值和协方差矩阵分块如下所示。（其中协方差矩阵是对称的）

为简单起见，记，同时分块为

多维高斯分布可表示为

$f(X)=\frac{1}{(2\pi)^{D/2}|\Sigma|^{1/2}}e^{-\frac{1}{2}(X-\mu)^T\Sigma^{-1}(X-\mu)}$

计算

该式同时可表示为

也服从高斯分布，所以我们只需计算均值和协方差矩阵即可。由上式可知协方差矩阵对应二次项，而均值对于一次项（协方差矩阵已知），那么对应有

分块矩阵的逆满足下式（左侧少了一个-1）

$\begin{pmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{B}\\ \mathbf{C} & \mathbf{D} \end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix} \mathbf{M} & \mathbf{-MBD^{-1}}\\ \mathbf{-D^{-1}CM} & \mathbf{D^{-1}+D^{-1}CMBD^{-1}} \end{pmatrix}^$

其中 $\mathbf{M}$ 为

故可求条件高斯分布的协方差矩阵和期望分别为

$\mu_{a|b}=\mu_{a}+\Sigma_{ab}\Sigma_{bb}^{-1}(X_b-\mu_b)$

至此可得条件高斯分布的概率密度。

2. 卡尔曼滤波

卡尔曼滤波公式可表现为

$\begin{matrix} Y_{k+1} = HY_k+u_k\\ X_{k} = FY_k+v_k \end{matrix}$

从这个式子中可以看出 $X,Y$ 之间的关系，可以通过贝叶斯网络描述。

不考虑初始时刻（这个时刻可以认为只有观测值，没有先验知识，采用ML等准则比较容易估计），中间时刻可以认为通过两个步骤估计状态，其一是先验知识，其二是观测数据。如下图所示

当然，之前的数据也是通过之前的观测量估计出来的，所以先验实际上是该时刻之前的观测量给出的现在时刻的状态估计。卡尔曼滤波中假设噪声服从高斯分布，此处我们计算均值和协方差有

注意：我实在是转不过来了，下面的X是状态，而Y是观测值，和上面的是反的。

$\hat x_{k+1|k} = E(X_{k+1|k}|y_{1,...,k}) = E(HX_{k|k}+u_k|y_{1,...,k})=H\hat x_{k|k}$

$\begin{align*} E((X_{k+1|k}-\hat x_{k|k})^T(X_{k+1|k}-\hat x_{k|k})|y_{1,...,k}) &= E((HX_{k|k}-\hat x_{k|k}+u_k)^T(HX_{k|k}-\hat x_{k|k}+u_k)|y_{1,...,k}) \\ &= H^TP_{k|k}H+E(u_k^Tu_k) \end{align*}$

$E(Y_{k+1|k}|y_{1,...,k}) = E(Fx_{k+1|k}+v_k|y_{1,...,k})=F\hat x_{k+1|k}$

$E((Y_{k+1|k}-\hat y_{k+1|k})^T(Y_{k+1|k}-\hat y_{k+1|k})|y_{1,...,k})= F^TP_{k+1|k}F+E(v^Tv)$

$E((Y_{k+1|k}-\hat y_{k+1|k})^T(X_{k+1|k}-\hat x_{k+1|k})|y_{1,...,k})= F^TP_{k+1|k}$

上式实际上就构成了通过之前时刻的观测值预测当前时刻状态和观测值的过程，概率满足多维高斯分布。其中 $P_{k|k}$ 代表的是k时刻的预测协方差矩阵。接下来要处理的实际上是观测到此刻的观测值后，计算后验概率。也就是说应用上述的条件高斯分布，求更新值的过程。

这一过程通过上节公式易求，此处不再说明。

posted @ 2015-05-19 21:32 暗海风阅读(2587) 评论(0) 编辑收藏举报

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条件高斯分布和卡尔曼滤波

1. 条件高斯分布

2. 卡尔曼滤波

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