最大权闭合子图
闭合子图
一个点集,不存在连接点集和点集外的边
最大权闭合子图
点权和最大的闭合子图
把闭合子图的集合映射到流网络的割的集合
原图 \(G(V,E)\)
建一个源点 \(s\) 到所有正权点,容量是点券,建一个汇点 \(t\) 到所有负权点,容量是点权绝对值。原图的所有边不变,容量 \(+\infty\)
原图 \(G\)
新图 \(G'\)
简单割
所有的割边都连接 \(s\) 或 \(t\)
现证明 简单割与闭合子图一一对应
对与闭合子图 \(V\) , $ V$ 中的点只能连接 \(s\) 或 \(t\) ,所以是简单割
对于一个简单割\([S,T]\) ,\(S-\{s\}\) 是一个闭合图,因为连接 \(S\) ,\(T\) 的边必定与 \(s\) 或 \(t\) 相连,所有 \(S-{s}\) 中的边只能连接自己
现在考虑数值上的关系
对于闭合子图 \(V\) , \(V^+\) 表示 \(V\) 中所有正权点的点权之和, \(V^-\) 表示所有负权的的点权绝对值之和
则 \(V\) 的权和为
\[s = V^+ - V^-
\]
现在考虑割 \([S,T]\) 的流量, \(S \to T\) 的只有两种边,一种是 \(V\) 到 \(t\) 的边,一种是 \(s\) 到 原图中除去 \(V\) 的其他点, 由于 \(s\) 连接的是正权的点,设原图所有正权点的点权之和是 \(sum\) ,则这部分正权点的点权之和是 \(sum - V^+\)
\[c = V^- + sum - V^+ = sum - s
\]
所以至此,要求最大权闭合子图,也就是求图 \(G'\) 的最小割