网络流基础

1. 基本概念

流网络

\(G = (V,E)\)

有向图，一个源点，一个汇点。每条边都有一个属性（容量）。

不考虑反向边

可行流

可行流 \(f\) 需要满足

• 容量限制 （ \(0 \le f(u,v) \le c(u,v)\) )
• 流量守恒 （除了源点和汇点，其余点的流入等于流出）

\(|f|\) 表示可行流的流量

\[|f| = \sum_{(s,v)\in E} f(s,v) - \sum_{(s,v)\in E} f(v,s) \]

最大流

指的是 最大可行流

残留网络

针对流网络的某一条流

记作 \(G_f\) ，是由流 \(f\) 决定的

\(V_f = V\) , \(E_f = E + E\) 的反向边

\[c'(u,v) = \begin{cases}c(u,v) - f(u,v) & (u,v)\in E\\f(u,v)\end{cases} \]

残留网络 + 残留网络的一个可行流 = 原流网络的一个可行流

增广路径

在残留网络中从源点出发边权都大于0，到汇点结束的简单路径叫做增广路径。

• 增广路径一定是一个可行流
• 增广路径流量大于0

若对于一个可行流 \(f\) ,其 残留网络 \(G_f\) 若不存在增广路，则可以断定 \(f\) 是一个最大流

割

流网络 \(G = (V,E)\)

把点集 \(V\) 分成 \(S\), \(T\) , \(S \cap T = \empty\) , \(S \cup T = V\)

\(s \in S\) , \(t \in T\)

割的容量

所有从 \(S\) 到 \(T\) 的边的容量之和 \(c(S,T) = \sum_{u\in S} \sum_{v \in T} c(u,v)\)

最小割指割的容量的最小值

割的流量

\(f(S,T) = \sum_{u\in S}\sum_{v\in T}f(u,v) - \sum_{v\in T}\sum_{u\in S}f(v,u)\)

对任意的割，任意的一个可行流，割的流量一定小于等于割的容量

$\forall S,T \ \ \forall f , f(S,T) \le c(S,T) $

对任意的割，任意的可行流，一定有割的流量等于可行流的流量
\(\forall S,T\ \ \forall f \\|f| = f(S,T)\)

证明

首先有

\(f(S,T) = -f(T,S)\) , \(f(X,X)=0\)

\(f(S,X \cup Y) = f(S,X) + f(S,Y)\) , \(X \cap Y = \empty\)

\(f(X \cup Y, T) = f(X,T) + f(Y,T) , X \cap Y = \empty\)

\[f(S,T) = f(S,V) - f(S,S)\\=f(S,V)\\=f(s,V) + f(S-s,V)\\=f(s,V) =|f| \]

最大流最小割定理

• 流 \(f\) 是最大流
• 流 \(f\) 的残留网络中不存在增广路
• 存在某个割 \([S,T]\) , \(|f| = c(S,T)\)

三者相互等价

一推二和三推一都比较简单

• ①推②

反证，若存在增广路，则可以更大流量

• ③推①

最大流 \(\ge |f|\)

最大流 \(\le c(S,T) = |f|\)

所以 \(|f|\) = 最大流

最小割 \(\le c(S,T) = |f| \le\) 最大流

此时还有 最小割=最大流

• ②推③

\(S\) , 在 \(G_f\) 中，从 \(s\) 出发沿容量大于0的边走，所有能走到的点

\(T = V - S\) ,因为没有增广路，所以 \(S,T\) 是一个割

\(x\in S,y \in T\) , 有 \(f(x,y) = c(x,y)\) ,反向边 \(f(y,x) = 0\)

所以 \(|f| = c(S,T)\)