四元数
四元数是由爱尔兰数学家威廉·卢云·哈密顿在1843年发现的数学概念。四元数的乘法不符合交换律。
明确地说,四元数是复数的不可交换延伸。如把四元数的集合考虑成多维实数空间的话,四元数就代表着一个四维空间,相对于复数为二维空间。
定义
复数是由实数加上元素 i 组成,其中
- 。
相似地,四元数都是由实数加上三个元素 i、j、k 组成,而且它们有如下的关系:
每个四元数都是 1、i、j 和 k 的线性组合,即是四元数一般可表示为。
要把两个四元数相加只需将相类的系数加起来就可以,就像复数一样。至于乘法则可遵循以下的乘数表:
例子
假设:
那么:
性质
四元数不像实数或复数那样,它的乘法是不可交换的,例如
- ;
- ;
- 。
四元数是除法环的一个例子。除了没有乘法的交换律外,除法环与域是相类的。特别地,乘法的结合律仍旧存在、非零元素仍有唯一的逆元素。
四元数形成一个在实数上的四维结合代数(事实上是除法代数),并包括复数,但不与复数组成结合代数。 四元数(以及实数和复数)都只是有限维的实数结合除法代数。
四元数的不可交换性往往导致一些令人意外的结果,例如四元数的 n-阶多项式能有多于 n 个不同的根。 例如方程式 就有无数多个解。 只要是符合 的实数,那么 就是一个解。
一个四元数 的共轭值定义为:
而它的绝对值则是非负实数,定义为:
注意,一般状况下不等于。
四元数的乘逆可以算得。
以矩阵表示四元数
有两种方法能以矩阵表示四元数,并以矩阵之加法、乘法应用于四元数之加法、乘法。
第一种是以二阶复数矩阵表示。若 h = a + bi + cj + dk 则它的复数形式为:
这种表示法有如下优点:
- 所有复数 (c = d = 0) 就相应于一个实矩阵。
- 四元数的绝对值的平方就等于矩阵的行列式。
- 四元数的共轭值就等于矩阵的共轭转置。
- 对于单位四元数 (|h| = 1) 而言,这种表示方式给了四维球体和SU(2)之间的一个同型,而后者对于量子力学中的自旋的研究十分重要。
第二种则是以四阶实数矩阵表示:
其中四元数的共轭等于矩阵的转置。