DFS 序求 LCA

写在前面

学习于 skip2004 和 Alex-Wei 的博客。

DFS 序吊打欧拉序，赢！

定义

• DFS 序：表示对一棵树进行深度优先搜索得到的 结点序列
• 时间戳 DFN： 表示每个结点在 DFS 序中的位置。

算法内容

先给出结论：

不妨假设 $\operatorname{dfn}(u)< \operatorname{dfn}(v)$。

当 $u\neq v$ 时，$u, v$ 的 LCA 即为在 DFS 序中，处于 $[\operatorname{dfn}(u)+1, \operatorname{dfn}(v)]$ 之间深度最小的结点的父亲；

如果$u=v$，则它们的 LCA 即为 $u$

证明如下：

假设 $\operatorname{dfn}(u)< \operatorname{dfn}(v)$。 分类讨论：

1. 如果 $u$ 不是 $v$ 的祖先

记 $\operatorname{LCA}(u, v)$ 为 $u, v$ 的最近公共祖先。

令 $d=\operatorname{LCA}(u, v)$，DFS 的顺序显然为 $d\rightarrow u\rightarrow d \rightarrow v$。

一个很重要的性质是： $d$ 及其祖先不会出现在 $u\rightarrow v$ 的 DFS 序中，这是易证的。

设 $d$ 的儿子中，子树包含 $v$ 的儿子为 $v'$（图中为 $b$）。显然，$v'$ 应该在 $u\rightarrow v$ 的 DFS 序之间。

这说明，我们只需要求在 $\operatorname{dfn}(u)$ 到 $\operatorname{dfn}(v)$ 之间深度最小的任意一个结点，其父亲即为 $\operatorname{LCA}(u, v)$。

2. 如果 $u$ 是 $v$ 的祖先

将查询区间从 $[\operatorname{dfn}(u), \operatorname{dfn}(v)]$ 变为 $[\operatorname{dfn}(u)+1, \operatorname{dfn}(v)]$ 即可。

容易发现，第二个区间也能满足情况 $1$ 的正确性。

代码

本代码来自 Alex-Wei 的博客，仅根据个人码风习惯做了部分修改。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 5e5 + 3;
int n, m, R, dn, dfn[MAXN], mi[19][MAXN];
vector<int> G[MAXN];

inline int get(int x, int y) {return dfn[x] < dfn[y] ? x : y;}

void dfs(int id, int f) {
	mi[0][dfn[id] = ++dn] = f;
	for(int it : G[id]) if(it != f) dfs(it, id); 
}

inline int lca(int u, int v) {
	if(u == v) return u;
	if((u = dfn[u]) > (v = dfn[v])) swap(u, v);
	int d = __lg(v - u ++);
	return get(mi[d][u], mi[d][v - (1 << d) + 1]);
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
	cin >> n >> m >> R;
	for(int i = 2, u, v; i <= n; ++ i) cin >> u >> v, G[u].push_back(v), G[v].push_back(u);
	dfs(R, 0);
	for(int i = 1; i <= __lg(n); ++ i) for(int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= n; ++ j) mi[i][j] = get(mi[i - 1][j], mi[i - 1][j + (1 << i - 1)]);
	for(int i = 1, u, v; i <= m; ++ i) cin >> u >> v, cout << lca(u, v) << endl;
}

写在最后（摘自 Alex-Wei 的博客）

对比 DFS 序和欧拉序，不仅预处理的时间常数砍半（欧拉序 LCA 的瓶颈恰好在于预处理，DFS 是线性），空间常数也砍半（核心优势），而且还更好写（对于一些题目就不需要再同时求欧拉序和 DFS 序了），也不需要担心忘记开两倍空间，可以说前者从各个方面吊打后者。

对比 DFS 序和倍增，前者单次查询复杂度更优。

对于 DFS 序和四毛子，前者更好写，且单次查询常数更小（其实差不多）。

对于 DFS 序和树剖，前者更好写，且单次查询复杂度更优（但树剖常数较小）。

将 DFS 序求 LCA 发扬光大，让欧拉序求 LCA 成为时代的眼泪！

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本文作者：SDLTF
本文链接：https://www.cnblogs.com/sdltf/p/17644606.html
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