二分图与匹配 I ：二分图的最大匹配

引入：什么是二分图，什么是匹配

口头语言描述：一个图，你把他的点集划为两个集合，让每个集合之间的点没有连边，就是一个二分图。

二分图的一个等价定义是：不含有奇数条边的环的图就是一个二分图。

证明：显然，观察每一条路径，都是从一个点集走向另外一个点集，则一个环必定得走偶数次。

匹配，则是一个边集。在二分图中选择一些边玩连连看游戏，如果选择的边两两没有公共点，这个边集就是原图的一个匹配。

为了方便后面的描述，我们再引入一些概念：

• 匹配点：被匹配边连接的点；
• 匹配边：匹配里的边；
• 非匹配点：没被匹配边连接的点；
• 非匹配边：不在匹配里的边；
• 最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。
• 完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。

显然，完美匹配一定是最大匹配，但并非每个图都存在完美匹配。

我们有时候希望匹配最大，那该怎么办呢？

解决：匈牙利算法

为了理解这个算法，我们给出几个概念：

• 交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边，匹配边，非匹配边……的路径；
• 增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路。

增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条，我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时，达到最大匹配（这是增广路定理）。这就是匈牙利算法。

1. 从左边第 1 个顶点开始，挑选未匹配点进行搜索，寻找增广路；
   1. 如果经过一个未匹配点，说明寻找成功。更新路径信息，匹配边数 +1，停止搜索；
   2. 如果一直没有找到增广路，则不再从这个点开始搜索。事实上，我们可以永久性地把它从图中删去，而不影响结果。
2. 由于找到增广路之后需要沿着路径更新匹配，所以我们需要一个结构来记录路径上的点。

代码使用 BFS 探路，复杂度为 \(O(|V||E|)\)。

int Hungarian() {
    int ans = 0;
    memset(matching, -1, sizeof matching), memset(check, -1, sizeof check);
    for (int i = 1; i <= leftnode; ++ i) {
        if (matching[i] == -1) { // 点 i 还未被匹配过 
            // 清空队列，开始对 i 进行探路
            while (!q.empty()) q.pop();
            q.push(i);
            prev[i] = -1;
            bool flag = false; 
            
            // 开始探路 
            while(!q.empty() && !flag) {
                auto u = Q.front();
                for(int i = head[u] ; i; i = G[u].nxt) {
                    int v = G[i].to;
                    if(check[v] != i) {
                        check[v] = i;
                        Q.push(matching[v]);
                        if(matching[v] >= 0) prev[matching[v]] = u; // 找到匹配点
                        else { // 找到未匹配点，交替路变为增广路
                            flag = true;
                            int d = u, e = v;
                            while(d != -1) {
                            	// 一些存边操作 
                                int t = matching[d];
                                matching[d] = e, matching[e] = d;
                                d = prev[d], e = t;
                            }
                        }
                    }
                }
                q.pop();
            }
            if (matching[i] != -1) ++ ans; // 如果到最后 匹配成功，那么ans ++  
        }
    }
    return ans;
}