FHQ Treap实现区间操作

引入

题目来源：文艺平衡树 - 洛谷P3391
您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一个有序数列。
其中需要提供以下操作：翻转一个区间，例如原有序序列是 $5\ 4\ 3\ 2\ 1$，翻转区间是 $[2,4]$ 的话，结果是 $5\ 2\ 3\ 4\ 1$ 。 对于 $100\%$ 的数据，$1 \le n$（初始区间长度）$m$（翻转次数）$\le 1\text{e}5$。

解决方法

想用平衡树解决区间问题，那么首先考虑如何建树，要求建树建出来就是初始区间。

事实上，只需要把区间的下标插入 treap 中，然后中序遍历即可得到这个区间。

在朴素的 BST 中，按顺序插入结点建出来的是一条链，但在 treap 中，按顺序插入结点后，merge 操作会根据每个节点的 pri 调整树结构，问：如何保证中序遍历一定能正确输出？\

OI Wiki如是解释：

可以参考 笛卡尔树的单调栈建树方法 来理解这个问题。
设新插入的节点为 $\textit{u}$。
首先，因为是递增地插入节点，每一个新插入的节点肯定会被连接到 treap 的右链（即从根结点一直往右子树走，经过的结点形成的链）上。
从根节点开始，右链上的节点的 pri 是递增的（小根堆）。那我们可以找到右链上第一个 pri 大于 $\textit{u}$ 的节点，我们叫这个节点 $\textit{v}$，并把这个节点换成 $\textit{u}$。
因为 $\textit{u}$ 一定大于这个树上其他的全部节点，我们需要把 $\textit{v}$ 以及它的子树作为 $\textit{u}$ 的左子树。并且此时 $\textit{u}$ 没有右子树。
可以发现，中序遍历时 $\textit{u}$ 一定是最后一个被遍历到的（因为 $\textit{u}$ 是右链中的最后一个，而中序遍历中，右子树是最后被遍历到的）。

博主本人的理解，对照这个图，如果你学过旋转平衡树，你会发现，他事实上可以理解为干了这么一件事：

1. 把 ${5,2}$ 插入到 ${4,5}$ 的右儿子；
2. 旋转上升

不过是 FHQ Treap 本身并不支持旋转操作，这里就换了一种方式，同样达到了旋转的效果。

那么接下来考虑如何实现区间翻转。

假设你想翻转 $[l,\ r]$，你的想法就很自然的是先把这个区间给剥离出来再操作。

也就是将树分裂成 $[1, l - 1],\ [l, r],\ [r + 1, n]$ 三个区间，再对中间的 $[l, r]$ 进行翻转。

通过画图，可以发现翻转的具体操作是把区间内的子树的每一个左，右子节点交换位置。

显然的，这个操作的复杂度最坏 $O(n)$，不太能够满足我们的需要。我们有什么方法能避免这一点呢？

其实利用线段树的思想。不难发现，翻转再翻转等于没翻转，那么我们在交换时只需要在父节点打上标记，代表这个子树下的每个左右子节点都需要交换就行了。

标记打好了，什么时候下传标记？

回忆在线段树中，我们一般在更新和查询时下传懒标记。这是因为，在更新和查询时，我们想要更新/查询的范围不一定和懒标记代表的范围重合，所以要先下传标记，确保查到和更新后的值是正确的。

FHQ Treap 也一样。具体操作时我们会把 treap 分裂成前文讲到的三个树，然后给中间的树打上懒标记后合并这三棵树。

一句话理解：树的结构发生改变了，你就该下放标记了

为了很快的实现“翻转两次等于没有翻转”，我们想到了使用 异或 来实现。

代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e6+10;
int n, m, root, l, r, p, cnt;

struct { int l, r, size, val, lazy, key; }tree[N];
inline void add(int x) 		{ tree[x].val = x, tree[x].size = 1, tree[x].key = rand(), tree[x].l = tree[x].r = 0; }
inline void pushdown(int u) { swap(tree[u].l, tree[u].r), tree[tree[u].l].lazy ^= 1, tree[tree[u].r].lazy ^= 1, tree[u].lazy = 0; }
inline void update(int u) { tree[u].size = tree[tree[u].l].size + tree[tree[u].r].size + 1; }

void split(int u, int x, int &l, int &r){
	if(!u)			 return (l = r = 0), void();
	if(tree[u].lazy) pushdown(u);
	if(tree[tree[u].l].size + 1 <= x) 	l = u, split(tree[u].r, x - tree[tree[u].l].size - 1, tree[u].r, r);
	else 								r = u, split(tree[u].l, x, l, tree[u].l);
	update(u);
}

int merge(int l,int r){
	if(!l || !r) return l + r;
	if(tree[l].key < tree[r].key){
		if(tree[l].lazy) pushdown(l);
		return tree[l].r = merge(tree[l].r, r), update(l), l;
	}
	else{
		if(tree[r].lazy) pushdown(r);
		return tree[r].l = merge(l, tree[r].l), update(r), r;
	}	
}

void print(int u){
	if(tree[u].lazy)	pushdown(u);
	if(tree[u].l)		print(tree[u].l);
	cout << tree[u].val << ' ';
	if(tree[u].r)		print(tree[u].r);
}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= n; ++ i) add(i), root = merge(root, i);
	for(int i = 1, x, y; i <= m; ++ i){
		cin >> x >> y;
		split(root, y, l, r), 	split(l, x - 1, l, p), tree[p].lazy ^= 1,  	root = merge(merge(l, p), r);
	}
	print(root);
} 

__EOF__

本文作者：SDLTF
本文链接：https://www.cnblogs.com/sdltf/p/17612690.html
关于博主：评论和私信会在第一时间回复。或者直接私信我。
版权声明：本博客所有文章除特别声明外，均采用 BY-NC-SA 许可协议。转载请注明出处！
声援博主：如果您觉得文章对您有帮助，可以点击文章右下角【推荐】一下。您的鼓励是博主的最大动力！