神奇的莫队
Part -1: 参考资料
参考资料1
万分感谢这个大佬，祝他报送清华北大！
本文同步发表于知乎
Part 0: 一些介绍
莫队由莫涛神仙首次提出，是一种区间操作算法。
即便是板子题，难度也很高（差评）
所以，在阅读后文之前，请你先深呼吸，喝杯咖啡，吃点饼干，听听自己喜欢的歌
然后，停止呼吸，放下杯子，扔开饼干，摘下耳机，接受莫涛大神思想光辉的洗礼
Part 1：莫队算法的引入
先别谈莫队，我们来回顾一下，遇到区间问题一般怎么解决？
很好，暴力线段树
也就是说，我们一直在通过维护两个序列——左序列\([l,mid]\)与右序列\([mid + 1,r]\)，从而来维护\([l, r]\)，当然，这个操作会一直递归下去
然而，当题目这么问：
令数组\(Q\)大小为\(n\)且每个元素\(Q_i < n\)，有\(m\)个询问，每次询问给定\(l,r\)，请找出\([l,r]\)中至少重复出现\(k\)此的数字的个数
换句话说：
在\(Q_l\)到\(Q_r\)内找出现次数多余\(k\)的数字的个数
of course，你可以暴力，但你会暴零
那么我们试着用线段树，首先，你需要维护左边的序列，然后你需要维护右边的序列，然后……
然后你会发现很难做到短时间甚至\(O(1)\)的时间完成对线段树单一节点的维护，因为你总是要层层递进向上叠加。
淦！这不是欺负人吗
我们先试试暴力吧，用个\(count\)记录一下出现次数，然后在扫一遍
暴力是万能的，答案当然正确，但是你的时间复杂度哭了——\(O(n^2)\)
那么我们可以看看是否可以改进一下，用上\(t(wo)p(oints)\)算法：
假设有两个指针，\(l\)和\(r\)，每次询问的时候用移动\(l\)和\(r\)的方式来尝试和要求区间重合
是不是有点蒙？我举个栗子
此图中，两个Q是待求的区间
初始化\(r = 0,l = 1\)
此时，发现\(l\)和要求的区间左端重合了，而\(r\)没有，那么我们把\(r\)往右边移动一位
此时，\(r\)发现了一个新的值\(0\)，总数记录一下，继续右移动
\(r\)又发现了一个新数值\(2\)，总数记录一下，继续右移动
此处\(2\)被记录过了，总数值不变
一直到\(r\)与右端点重合，得到下图：
第一个区间就算处理完了，我们来看下一个
首先，\(l\)不在左端点，我们把它右移
这一次，\(l\)所遇到的数值在区间\([l, r]\)只能够存在，总数不变
下一次也是如此，一直到
你会发现，这时，区间\([l,r]\)将（也就是在下一次移动后）不会有\(2\)存在了，那么总数就一个\(-1\)，而正好本题需要统计的就是区间内数值的个数，总数改变：
如此循环往复，得到最终答案，所以我们可以得出这个代码
int arr[maxn], cnt[maxn] // 每个位置的数值、每个数值的计数器
int l = 1, r = 0, now = 0; // 左指针、右指针、当前统计结果（总数）
void add(int pos) { // 添加一个数
if(!cnt[arr[pos]]) ++ now; // 在区间中新出现，总数要+1
++ cnt[arr[pos]];
}
void del(int pos) { // 删除一个数
-- cnt[arr[pos]];
if(!cnt[arr[pos]]) -- now; // 在区间中不再出现，总数要-1
}
void work() {
for(int i = 1; i <= q; i ++) {
int ql, qr;
scanf("%d%d", &ql, &qr);
while(l < ql) del(l++); // 左指针在查询区间左方，左指针向右移直到与查询区间左端点重合
while(l > ql) add(--l); // 左指针在查询区间左端点右方，左指针左移
while(r < qr) add(++r); // 右指针在查询区间右端点左方，右指针右移
while(r > qr) del(r--); // 否则左移
printf("%d\n", now); // 输出统计结果
}
}
嗯，干得漂亮，但是这是莫队吗？不是
如果区间特别多，\(l,r\)反复横跳，结果皮断了腿，时间复杂度\(O(nm)\)
那么现在的问题已经变成了：如何尽量减少\(l,r\)移动的次数？
Part 2：莫队的正确打开方式
首先，看到尽量减少\(l,r\)移动的次数，我们会想到排个序
排序排什么的顺序呢？是排端点吗？显然不是，哪怕左端点有序，右端点就会杂乱无章；右端点有序，左端点就会杂乱无章……
这里，我们运用一下分块的思想，把序列分为\(\sqrt{n}\)块，把查询区间按照左端点所在块的序号排个序，如果左端点所在块相同，再按右端点排序。
这个算法需要的时间复杂度为\(sort+move_{\texttt{左指针}}\)
由于\(sort\)的时间复杂度为\(O(n\log n)\)，\(move_{\texttt{做指针}}\)的时间复杂度为\(O(n\sqrt{n})\)，那么总的时间复杂度为\(O(n\sqrt{n})\)
好耶！降了一个根号！鼓掌！
其次，我们需要考虑一下更新的策略
一般来说，我们只要找到指针移动一位以后，统计数据与当前数据的差值，找出规律（可以用数学方法或打表），然后每次移动时用这个规律更新就行
最后给出总代码：
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 1010000
#define maxb 1010
int aa[maxn], cnt[maxn], belong[maxn];
int n, m, size, bnum, now, ans[maxn];
struct query {
int l, r, id;
} q[maxn];
int cmp(query a, query b) {
return (belong[a.l] ^ belong[b.l]) ? belong[a.l] < belong[b.l] : ((belong[a.l] & 1) ? a.r < b.r : a.r > b.r);
}
#define isdigit(x) ((x) >= '0' && (x) <= '9')
int read() {
int res = 0;
char c = getchar();
while(!isdigit(c)) c = getchar();
while(isdigit(c)) res = (res << 1) + (res << 3) + c - 48, c = getchar();
return res;
}
void printi(int x) {
if(x / 10) printi(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
int main() {
scanf("%d", &n);
size = sqrt(n);
bnum = ceil((double)n / size);
for(int i = 1; i <= bnum; ++i)
for(int j = (i - 1) * size + 1; j <= i * size; ++j) {
belong[j] = i;
}
for(int i = 1; i <= n; ++i) aa[i] = read();
m = read();
for(int i = 1; i <= m; ++i) {
q[i].l = read(), q[i].r = read();
q[i].id = i;
}
sort(q + 1, q + m + 1, cmp);
int l = 1, r = 0;
for(int i = 1; i <= m; ++i) {
int ql = q[i].l, qr = q[i].r;
while(l < ql) now -= !--cnt[aa[l++]];
while(l > ql) now += !cnt[aa[--l]]++;
while(r < qr) now += !cnt[aa[++r]]++;
while(r > qr) now -= !--cnt[aa[r--]];
ans[q[i].id] = now;
}
for(int i = 1; i <= m; ++i) printi(ans[i]),putchar('\n');
return 0;
}
Part 3：关于莫队的一些卡常数
卡常数作为OIer的家常便饭，相信大家一定不陌生了
卡常数包括：
- 位运算
O2- 快读
- ……
而莫队的神奇之处在于他的独特优化：奇偶性排序
原代码：
int cmp(query a, query b) {
return belong[a.l] == belong[b.l] ? a.r < b.r : belong[a.l] < belong[b.l];
}
改为
int cmp(query a, query b) {
return (belong[a.l] ^ belong[b.l]) ? belong[a.l] < belong[b.l] : ((belong[a.l] & 1) ? a.r < b.r : a.r > b.r);
}
别人说跑的很快我还不信，自己跑了一下才知道……
真的跑的很快啊……
Part 4: 能修改的莫队
我知道，你拿着上面别个大佬写的代码（再次膜拜写这个代码的大佬orz）兴冲冲的去刷题，一路上披荆斩棘，直到你看到了Luogu1903——国家集训队-数颜色，你彻底傻了眼
妈耶，他要是这么一修改我岂不是要重新sort？跑了跑了
由于莫队本身就是离线的，而你需要修改，得想个办法让他在线，具体做法是：“就是再弄一指针，在修改操作上跳来跳去，如果当前修改多了就改回来，改少了就改过去，直到次数恰当为止。”
（再次感谢这个大佬，，好喜欢这个解释）
