因式分解（1）

Part -2：本文说明

本文只介绍八年级会用到的一些因式分解技巧
文章为原创，所有的公式在和Photomath中均验证过

Part -1：幂的运算

请记住以下公式：
$a^b\cdot a^c = a^{b+c}$
$\frac{a^b}{a^c} = a^{b-c}$
$(a^m)^n = a^{mn}$
$a^c\cdot b^c=(ab)^c$
$a^0 = 1(a \neq 0)$
$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a\neq 0)$

Part 0：什么是因式分解

因式分解是整式乘法的逆运算，举个例子：
$c(a+b) = ac + bc$
从右到左是因式分解，从左到右是整式乘法
也就是说：
因式分解是添加小括号，用乘法表示一个代数式
整式乘法是去掉小括号，用加法表示一个代数式
请注意，因式分解不改变原式的值，并且倒退回去可以得到原式

Part 1：因式分解第一招——乘法分配律！

例1：对以下式子进行因式分解：
$(1) 2a + 2b$
$(2) 2a^2 + 4ab$
$(3) 2ab + 2bc + 2abc$
$(4) 2ca + 2bc^2$
首先看第一个：
我们可以发现，他正好符合$ac + bc$的形式，话不多说，直接运用：
$\text{解：}(1): 2a+2b = 2(a+b)$

再来看第二个，这个式子里边有平方，怎么办呢？
请记住：目前为止，有平方？你就拆！
第二个问题：4和2，怎么运用乘法分配律呢？
小可爱，你知道$2\times 2=4$ 吗？
$2a^2+4ab = 2a\cdot a+ 2ab \cdot 2$
提取一个$2a$，可得：$2a(a+2b)$

第三个，有的小可爱一看到就开心了，直接提取一个$2b$：$2b(a+c+ac)$

第四个，也很好做啊！提取$2c$：$2c(bc+a) $

Part 2：公式的运用

不是所有时候都可以用到乘法分配律，于是，公式出来了：
$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
这是你基本要记住的几个，我们来几个题：
$(1)(x-y)^2-4$
如果你敏感的话，你很快就能看出来：原式就是：
$a^2-b^2(a = x-y,b = 2)$
好的，直接用公式，也就是：
$(x-y+2)(x-y-2)$

第二个：$x^4-2x^2 y^2+y^4$
啊哈，不就是$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$嘛！
直接用！转换为：
$(x^2 - y^2)^2$
嘿嘿嘿嘿，别忙着做下一题，你再审视一下这个式子：
$(x^2 - y^2)^2$
你再审视一下小括号：
$x^2-y^2$
此时你一惊：艹，还有一个$a^2-b^2$！
继续分解，原式变为：
$[(x-y)(x+y)]^2$
记得前面提到的幂的运算第四条吗？反过来用，$(ab)^c=a^cb^c$
那就继续换：
$(x-y)^2(x+y)^2$
然而，在作者验证的时候，发现有的网站这么给答案：$(y-x)^2(y+x)^2$
于是插一句话：因为偶次方具有非负性，所以：$(a-b)^2=(b-a)^2$

Part 3：项太多了怎么办？分组！

分组分解法一般用于四项及以上的分组，把他们分解之后再来运用公式或者乘法分配律。
举个例子：
$xy+x+y+1$
四项，也不是公式，怎么办呢？分个组！
分组的原则一般是：(1)有公式可以套，(2)有相同的"系数"（使用主元法）
啊这里也没啥公式可以用，就考虑使用相同系数吧：
这里我假设把y当为未知数（这是后面会讲到的主元法）
$(x+1)y + (x+1)$
哦，可以乘法分配律了！：
$(x+1)(y+1)$

当然，分组的灵活性很大，只能自己慢慢摸索（我指的是多刷题）