CF132E Bits of merry old England
有一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\) ，有 \(m\) 个变量，要求给出操作序列，来输出这 \(n\) 个数，你能进行两种操作：
- 对某个变量赋值。
- 输出某个变量。
变量没有初值，每次赋值的代价是你赋的值得二进制表示中 \(1\) 的个数。
要求给出一个操作序列最小化代价，并输出方案。
\(1\le n\le250\) , \(1\le m\le26\) 。
考虑网络流建图，一个变量可以保留至下一次被询问当且仅当 \(l,r\) 这段时间都保留下来，这个不好限制，那么我们可以看作每次都要加代价，然后 \(r-1\) 天又减去代价，这样就可以看作保留下来了。
那么考虑建图，每个点拆成两个点 \(x_i,y_i\) 。
\(S\to x_i\) 流量为 \(1\) ，费用为 \(a_i\) 的代价，代表每次都要赋值。
\(x_i\to y_i\) ，流量为 \(1\) ，费用为 \(0\) ，代表不减去代价。
\(y_i\to T\) ，流量为 \(1\) ，费用为 \(0\) ，代表减去代价或以后被覆盖这两个操作只能进行一次。
\(x_{i-1}\) 向上一个 \(a_j=a_i\) 的 \(y_j\) 连边，流量为 \(1\) ，费用为 \(-a_i\)的代价，代表上一次保留到现在要减去代价。
\(x_i\to x_{i+1}\) ，流量为 \(m-1\) ，费用为 \(0\) ，代表这次的变量保留到下次，因为下次还要赋值，所以是 \(m-1\) 。
然后方案的话记录下每个 \(a_i\) 被保留到了什么时候，模拟一下就可以了。
Code
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <map>
#define fi first
#define se second
const int N = 250;
using namespace std;
int n,k,a[N + 5],x[N + 5],y[N + 5],S,T,idc,ans1,ans2,sl[N + 5],ID[N * 3 + 5],t[N + 5],num[N + 5],tt[N + 5];
struct node
{
int x,y,opt;
};
vector <node> ans;
namespace F
{
const int N = 3e6;
const long long inf = 2e18;
#define mp make_pair
struct edges
{
int v;
long long w,f;
}edge[N + 5];
int head[N + 5],S,T,nxt[N + 5],edge_cnt = 1,cur[N + 5],vis[N + 5],p[N + 5],q[N + 5];
long long dis[N + 5],cost;
void add_edge(int u,int v,long long w,long long f)
{
edge[++edge_cnt] = (edges){v,w,f};
nxt[edge_cnt] = head[u];
head[u] = edge_cnt;
}
void add(int u,int v,long long w,long long f)
{
add_edge(u,v,w,f);
add_edge(v,u,0,-f);
}
bool spfa()
{
for (int i = 1;i <= idc;i++)
dis[i] = inf,cur[i] = head[i],vis[i] = p[i] = 0;
int l = 1,r = 0;
dis[S] = 0;
q[++r] = S;
while (l <= r)
{
int u = q[l++];
vis[u] = 0;
for (int i = head[u];i;i = nxt[i])
{
int v = edge[i].v;
long long w = edge[i].w,f = edge[i].f;
if (w && dis[v] > dis[u] + f)
{
dis[v] = dis[u] + f;
if (!vis[v])
{
q[++r] = v;
vis[v] = 1;
}
}
}
}
return dis[T] != inf;
}
long long dfs(int u,long long flow)
{
if (u == T)
return flow;
long long sm = 0;
p[u] = 1;
for (int &i = cur[u];i;i = nxt[i])
{
int v = edge[i].v;
long long w = edge[i].w,f = edge[i].f;
if (w && dis[v] == dis[u] + f && !p[v])
{
long long res = dfs(v,min(flow,w));
edge[i].w -= res;
edge[i ^ 1].w += res;
flow -= res;
sm += res;
cost += res * f;
if (!flow)
break;
}
}
p[u] = 0;
return sm;
}
pair <long long,long long> dinic(int s,int t)
{
S = s;T = t;
long long ans = 0;
cost = 0;
while (spfa())
ans += dfs(S,inf);
return mp(ans,cost);
}
void solve()
{
for (int i = 2;i <= n;i++)
{
for (int j = head[x[i - 1]];j;j = nxt[j])
{
int v = edge[j].v;
long long w = edge[j].w,f = edge[j].f;
if (!w && f < 0 && v != S)
sl[ID[v]] = i;
}
}
for (int i = 1;i <= k;i++)
t[i] = 0;
int cnt = 0;
for (int i = 1;i <= n;i++)
{
int fl = 0;
for (int j = 1;j <= k;j++)
if (t[j] == a[i])
{
ans.push_back((node){j,0,2});
tt[j] = i;
fl = 1;
break;
}
if (fl)
continue;
for (int j = 1;j <= 26;j++)
if (sl[tt[j]] <= i)
{
ans.push_back((node){j,a[i],1});
ans.push_back((node){j,0,2});
tt[j] = i;
t[j] = a[i];
break;
}
}
}
void clear()
{
for (int i = 1;i <= idc;i++)
head[i] = 0;
edge_cnt = 1;
idc = 0;
}
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&k);
for (int i = 1;i <= n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
S = ++idc;T = ++idc;
for (int i = 1;i <= n;i++)
x[i] = ++idc,y[i] = ++idc,ID[idc] = i;
for (int i = 1;i <= n;i++)
{
F::add(S,x[i],1,__builtin_popcount(a[i]));
F::add(y[i],T,1,0);
F::add(x[i],y[i],1,0);
if (i < n)
F::add(x[i],x[i + 1],k - 1,0);
for (int j = i - 1;j >= 1;j--)
if (a[j] == a[i])
{
F::add(x[i - 1],y[j],1,-__builtin_popcount(a[i]));
break;
}
}
ans2 = F::dinic(S,T).se;
F::solve();
cout<<ans.size()<<" "<<ans2<<endl;
for (int i = 0;i < ans.size();i++)
if (ans[i].opt == 1)
printf("%c=%d\n",'a' + ans[i].x - 1,ans[i].y);
else
printf("print(%c)\n",'a' + ans[i].x - 1);
return 0;
}
